Question

綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）請(qǐng)?jiān)谥本�AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可得出A、B、C、D的坐標(biāo)，設(shè)AC解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）先根據(jù)題意結(jié)合圖形，畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置，然后利用平行線的性質(zhì)，及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求出三個(gè)Q的坐標(biāo)．
（3）因?yàn)锽D的長(zhǎng)固定，要使△BDM的周長(zhǎng)最小，只需滿足BM+DM的值最小即可，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'D，則與AC交點(diǎn)即是點(diǎn)M的位置，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出B'的坐標(biāo)，得出B'D的解析式，繼而聯(lián)立AC與B'D的解析式可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），
則，
解得，
∴直線AC的解析式為y=3x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）． 

（2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，

①當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時(shí)，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時(shí)，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為（1+，-3）；
③當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時(shí)，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（1-，-3）；
綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q₁（2，3），Q₂（1+，-3），Q₃（1-，-3）． 

（3）過點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F=BF，則B′為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對(duì)稱點(diǎn)．連接B′D交直線AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，
過點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC∽R(shí)t△AFB，
∴，
由A（-1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4．
∴，
∴BF=，
∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽R(shí)t△B′EB，
∴，
∴，即．
∴B′E=，BE=，
∴OE=BE-OB=-3=．
∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）．
設(shè)直線B′D的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0）．
∴，
解得，
∴直線B'D的解析式為：y=x+，
聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：，
解得，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題需要我們熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，認(rèn)真探究題目，謹(jǐn)慎作答．