Question

【題目】已知，如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的頂點(diǎn)為M (1，9), 經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)A(－3，－7)和B (3, m)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得S△DAC＝2S△DCM?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(3)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出滿足足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：；（2）點(diǎn)D或；（3）點(diǎn)或或，或，．

【解析】

（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，利用頂點(diǎn)式即可求解；

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，表示出DH，MC長度，根據(jù)，列方程求解即可；

（3）分是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的頂點(diǎn)為M (1，9)，

∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：，

∵A(－3，－7)在拋物線上，

∴，

解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：，

∵B (3, m)在拋物線上，

所以

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

設(shè)直線AB解析式為，

∴，

解得，

∴直線的表達(dá)式為：；

（2）存在，理由：

由二次函數(shù)得對(duì)稱軸為：，則點(diǎn)，

過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

∴DH=，MC=9-1=8，

，

則，

解得：或5，

故點(diǎn)D或；

（3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，，

①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)，

點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位得到，

∴點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位得到點(diǎn)，

∴t=-16,

則，

解得：或，

故點(diǎn)或；

②當(dāng)是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：，，

∵，

∴

解得：，

故點(diǎn)，或，；

綜上，點(diǎn)或或，或，．