Question

【題目】對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD邊上（如圖①），再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖②）

（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；

（2）將該矩形紙片展開．

①如圖③，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P，再將該矩形紙片展開．求證：∠HPC=90°；

②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法．（不需說明理由）

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②見解析.

【解析】（1）依據(jù)△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由圖②，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；

（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依據(jù)勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，進而得出AP=BC，再根據(jù)PH=CP，∠A=∠B=90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），進而得到∠CPH=90°；

②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，進而得到CP平分∠BCE，故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P．

（1）由圖①，可得∠BCE=∠BCD=45°，

又∵∠B=90°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴，即CE=BC，

由圖②，可得CE=CD，而AD=BC，

∴CD=AD，

∴=；

（2）①設AD=BC=a，則AB=CD=a，BE=a，

∴AE=（﹣1）a，

如圖③，連接EH，則∠CEH=∠CDH=90°，

∵∠BEC=45°，∠A=90°，

∴∠AEH=45°=∠AHE，

∴AH=AE=（﹣1）a，

設AP=x，則BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，

∴AH2+AP2=BP2+BC2，

即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，

解得x=a，即AP=BC，

又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，

∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），

∴∠APH=∠BCP，

又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，

∴∠APH+∠BPC=90°，

∴∠CPH=90°；

②折法：如圖，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，

故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；

折法：如圖，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，

由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，

又∵∠DCH=∠ECH，

∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，

故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P．