Question

如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點E是BC邊上一點，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q.

（1）如圖2，若點E為BC中點，將∠DEF繞著點E逆時針旋轉，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q.設BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點A，EF與邊AC交于Q點．探究：在∠DEF運動過程中，△AEQ能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）， 0＜x＜1；（2）能，此時BE的長為或

解析試題分析：（1）先根據(jù)等腰三角形的性質及勾股定理得到∠B=∠C，，再由，可證得△BPE∽△CEQ，根據(jù)相似三角形的性質可得，設BP為x，CQ為y，即得，從而可以求得結果；
（2）由∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C可得AE≠AQ ，當AE=EQ時，可證△ABE≌ECQ，即可得到CE=AB=2，從而可以求得BE的長；當AQ=EQ時，可知∠QAE=∠QEA=45°，則可得AE⊥BC ，即得點E是BC的中點，從而可以求得BE的長..
（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2
∴∠B=∠C，
又∵，
∴∠DEB=∠EQC
∴△BPE∽△CEQ
∴
設BP為x，CQ為y
∴
∴，自變量x的取值范圍是0＜x＜1；
（2）∵∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C
∴∠AQE＞∠AEF
∴AE≠AQ
當AE=EQ時，可證△ABE≌ECQ
∴CE=AB=2
∴BE=BC-EC=
當AQ=EQ時，可知∠QAE=∠QEA=45°
∴AE⊥BC
∴點E是BC的中點.
∴BE=                
綜上，在∠DEF運動過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時BE的長為或.
考點：相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.