Question

如圖，在平面直角坐標系中，過點C（1，2）分別作x軸、y軸的平行線，交直線DE于A、B兩點，點D的坐標是（6，0），點E的坐標是（0，6）．
（1）求直線DE的解析式和點A的坐標，若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經過點A，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計算判斷點B是否在這個反比例函數(shù)的圖象上；
（2）若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與△ABC有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設直線DE的解析式為y=kx+b，將D與E坐標代入求出k與b的值，確定出解析式，根據(jù)C坐標求出A的坐標，即可確定出反比例解析式；將B代入計算判斷即可；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，當反比例函數(shù)與點C相交時，k最小，設與線段AB相交于點（x，-x+6）時k值最大，即可確定出k的范圍．

解答：解：（1）設直線DE的解析式為y=kx+b，
∵點D（6，0）和E（0，6）在該直線上，
∴

b=6 6k+b=0

，
解得：

k=-1 b=6

，
∴直線DE的解析式為y=-x+6，
∵AC∥x軸，點A與點C（1，2）縱坐標相等，
∴當y=2時，-x+6=2，
解得：x=4，
∴點A的坐標為（4，2），
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經過點A，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

8

x

，
∵BC∥y軸，點B與點C（1，2）橫坐標相等，
將x=1代入y=-x+6得y=5，
∴點B坐標為（1，5），而1×5=5≠8，
∴點B不在該反比例函數(shù)的圖象上；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，
當反比例函數(shù)與點C相交時，k=1×2=2最小，設與線段AB相交于點（x，-x+6）時k值最大，
則k=x（-x+6）=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∵1≤x≤4，
∴當x=3時，k值最大為9，此時交點坐標為（3，3），
∴k的取值范圍是2≤k≤9．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，坐標與圖形性質，二次函數(shù)的性質，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．