分析 (1)①如圖1,先利用SAS證明△ADN≌△ABM,得出AN=AM,∠NAD=∠MAB,再計算出∠NAD=∠MAB=12(360°-135°-90°)=67.5°.作AE⊥MN于E,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出MN=2NE,∠NAE=12∠MAN=67.5°.再根據(jù)AAS證明△ADN≌△AEN,得出DN=EN,進而得到MN=BM+DN;
②如圖2,將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE,易知N、D、E三點共線.由△ANM≌△ANP,得到MN=PN,進而得到MN=BM+DN;
(2)以線段BM、DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE,連接NE,由△AMN≌△AEN,推出MN=EN,只要證明△EDN是直角三角形,可得DN2+DE2=NE2,由此即可解決問題.
解答 解:(1)①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關系是MN=BM+DN.理由如下:
在△ADN與△ABM中,
{AD=AB∠ADN=∠ABMDN=BM,
∴△ADN≌△ABM(SAS),
∴AN=AM,∠NAD=∠MAB,
∵∠MAN=135°,∠BAD=90°,
∴∠NAD=∠MAB=12(360°-135°-90°)=67.5°,
作AE⊥MN于E,則MN=2NE,∠NAE=12∠MAN=67.5°.
在△ADN與△AEN中,
\left\{\begin{array}{l}{∠ADN=∠AEN=90°}\\{∠NAD=∠NAE}\\{AN=AN}\end{array}\right.,
∴△ADN≌△AEN(AAS),
∴DN=EN,
∵BM=DN,MN=2EN,
∴MN=BM+DN.
故答案為MN=BM+DN;
②如圖2,若BM≠DN,①中的數(shù)量關系仍成立.理由如下:
將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE,易知N、D、E三點共線.
∵AM=AP,∠MAE=90°
∴∠EAN=360°-∠MAN-∠MAE=360°-135°-90°=135°,
∴∠MAN=∠NAE,
在△ANM與△ANP中,
\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.,
∴△ANM≌△ANE(SAS),
∴MN=EN,
∵EN=DE+DN=BM+DN,
∴MN=BM+DN;
(2)結論:以線段BM、DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.
理由:將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE,連接NE,
∵∠MAE=90°,∠MAN=135°,
∴∠NAE=360°-∠MAN-∠MAE=135°
∴∠EAN=∠MAN,
∵AM=AE,AN=AN,
∴△AMN≌△AEN,
∴MN=EN,
∵∠ADE=∠ABM=∠BDA=45°,
∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°
∴DN2+DE2=NE2,∵BM=DE,MN=EN,
∴DN2+BM2=MN2
∴以線段BM、MN、DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.
點評 本題考查正方形的性質,全等三角形的判定與性質,平行線的性質,等腰三角形的性質,相似三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理等知識,綜合性較強,有一定難度,學會利用旋轉的方法添加輔助線,構造全等三角形,屬于中考壓軸題.
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