Question

平面直角坐標(biāo)系與線段和的最值問題：
（1）已知點(diǎn)M（3，2），N（1，-1），點(diǎn)P在y軸上，求使得△PMN的周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）等腰梯形ABCD放置在如圖所示的直角平面坐標(biāo)系中，已知CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=，直線AC交y軸于E，動點(diǎn)P在線段EC上運(yùn)動，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)N（2，6）的距離之和的最小值，并求出此時的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）如圖所示，作出M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M′，連接NM′，與y軸相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，
設(shè)過NM′兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得k=-，b=-，
故此一次函數(shù)的解析式為y=-x-，
因?yàn)閎=-，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-）；

（2）作出點(diǎn)N關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)N′，CH⊥AB，過N′向y軸作垂線，交y軸于點(diǎn)Q，交直線AF于點(diǎn)P，則QN′即為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)N的距離之和的最小值，
∵等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=，
∴OA=HB=1，
∴A（-1，0），B（4，0）
∴CH===4，
∴D（0，4）、C（3，4），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得k=1，b=1，
∴直線AE的解析式為y=x+1，
∴N′點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3），
∴QN′=5；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，3），代入直線y=x+1得，3=a+1，解得a=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．
分析：（1）畫出直角坐標(biāo)系，描出M、N兩點(diǎn)，再作出M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M′，連接NM′，與y軸相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，用待定系數(shù)法求出過NM′兩點(diǎn)直線的解析式，再求出直線與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作出點(diǎn)N關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)N′，CH⊥AB，過N′向y軸作垂線，交y軸于點(diǎn)Q，交直線AF于點(diǎn)P，則QN′即為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)N的距離之和的最小值，分別求出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，根據(jù)線段對稱的性質(zhì)即可求出N′的坐標(biāo)，由N′點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線AC的解析式即可．
點(diǎn)評：本題考查的是最短路線問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、梯形的性質(zhì)，難度較大．