Question

（2012•惠安縣質(zhì)檢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知矩形AOBC，AO=2，BO=3，函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將矩形AOBC分別沿直線AC，BC翻折，所得到的矩形分別與函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象交于點(diǎn)E、F，求線段EF．
（3）①在（2）條件下，如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)F，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，試求點(diǎn)N 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若點(diǎn)P、Q分別在函數(shù)y=

k

x

圖象的兩個(gè)分支上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段P、Q兩點(diǎn)的最短距離（不需證明）；并利用圖象，求當(dāng)

k

x

≤x時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由平面直角坐標(biāo)系中C的位置，得到OA的長(zhǎng)為點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，OB的長(zhǎng)為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C在第一象限，寫(xiě)出C的坐標(biāo)即可；
（2）將（1）求出的C坐標(biāo)代入反比例解析式中，求出k的值，確定出反比例解析式，由折疊可得E的縱坐標(biāo)等于2OA，F(xiàn)的橫坐標(biāo)等于2OB，將求出E的縱坐標(biāo)代入反比例解析式中，求出E的橫坐標(biāo)，將F的橫坐標(biāo)代入反比例解析式中求出F的縱坐標(biāo)，確定出E和F的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出EF的長(zhǎng)；
（3）①分兩種情況考慮：（i）若以線段EF為平行四邊形FEMN的一邊，由平行四邊形的性質(zhì)得到FE與MN平行且相等，設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），將E和F的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出直線EF的解析式，由兩直線平行時(shí)斜率相等，得到直線MN解析式為y=kx+n，分別令x=0及y=0，求出對(duì)應(yīng)的y與x的值，表示出M與N的坐標(biāo)，由EF的長(zhǎng)，根據(jù)MN=EF得出MN的長(zhǎng)，在直角三角形MON中，由OM，ON，及MN的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，即可確定出N的坐標(biāo)；（ii）若以線段EF為平行四邊形FEMN的對(duì)角線，此時(shí)可求得點(diǎn)N（0，5）在直線EF上，可得點(diǎn)F，E，M，N四點(diǎn)在同一直線上，因而平行四邊形FEMN不存在，綜上，得到滿足題意的N的坐標(biāo)；
②當(dāng)P與Q的橫縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等時(shí)，PQ的距離最小，令y=x，代入反比例解析式中求出x的值，即為y的值，確定出P與Q的坐標(biāo)，即可求出OP與OQ的長(zhǎng)，由OP+OQ即可求出P、Q最短距離PQ的長(zhǎng)；由求出P與Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)及原點(diǎn)O的橫坐標(biāo)，將x分為4段：x＜-

6

，-

6

＜x＜0，0＜x＜

6

，x＞

6

，找出一次函數(shù)y=x在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的范圍，即為所求x的范圍．

解答：解：（1）∵AO=2，BO=3，且C在第一象限，
∴C（3，2）；
（2）把C（3，2）代入y=

k

x

（k≠0），得2=

k

3

，
解得：k=6，
∴y=

6

x

，
∵OD=2OA=4，OG=2OB=6，
∴D（0，4），G（6，0），
把y=4代入y=

6

x

，得x=

3

2

，
∴E（

3

2

，4），
把x=6代入y=

6

x

，得y=1，
∴F（6，1），
則由勾股定理得：EF=

( 3 2 -6)2+(4-1)2

=

3

2

13

；
（3）①分兩種情況，
（i）若以線段EF為平行四邊形FEMN的一邊，
∵四邊形FEMN是平行四邊形，
∴FE∥MN，F(xiàn)E=MN，
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
將E和F的坐標(biāo)代入得：

3 2 k+b=4 6k+b=1

，
解得：

k=- 2 3 b=5

，
∴直線EF方程：y=-

2

3

x+5，
∴FE∥MN，
∴設(shè)直線MN方程：y=-

2

3

x+n，
令x=0，求得：y=n；令y=0，求得：x=

3

2

n，
∴M（

3

2

n，0），N（0，n），
在Rt△MNO中，OM=

3

2

n，ON=n，MN=EF=

3

2

13

，
由勾股定理得：OM²+ON²=MN²，即（

3

2

n）²+n²=（

3

2

13

）²，
解得：n=3或n=-3，
∴N（0，3）或N（0，-3）；
（ii）若以線段EF為平行四邊形FEMN的對(duì)角線，
此時(shí)可求得點(diǎn)N（0，5）在直線EF：y=-

2

3

x+5上，
∴點(diǎn)F，E，M，N四點(diǎn)在同一直線上，因而平行四邊形FEMN不存在，
綜上，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為 （0，3）與 （0，-3）；
②將y=x代入y=

6

x

中，得：x²=6，
解得：x=

6

或-

6

，
∴P（

6

，

6

），Q（-

6

，-

6

），
此時(shí)PQ的距離最短，最短距離PQ=

(2 6 )2+(2 6 )2

=4

3

，
根據(jù)圖象，當(dāng)

6

x

≤x時(shí)，x的取值范圍為：-

6

≤x＜0或x≥

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，是中考�？嫉膲狠S題．