如圖，△AP1B中，BP1⊥AP1，AP1=2，∠A=30°，P1Q1⊥AB，Q1P2⊥AP1，P2Q2⊥AB，Q2P3⊥AP1…，PnQn⊥AB，Pn+1Qn⊥AP1，則S=P1Q1+P2Q2+…+PnQn+…的值為（　�。�
分析：在Rt△AP1Q1中，由AP1=2，∠A=30°，求P1Q1，再由30°的直角三角形中，P2Q2=P2Q1•cos30°=P1Q1•cos30°•cos30°=（
3
2
）2P1Q1=
3
4
P1Q1，得出一般規(guī)律，再求和．
解答：解：在Rt△AP1Q1中，∵AP1=2，∠A=30°，
∴P1Q1=
1
2
AP1=1，
由30°的直角三角形的性質(zhì)可知，
P2Q2=
3
4
P1Q1=
3
4
，P3Q3=
3
4
P2Q2=（
3
4
）2，…，PnQn=（
3
4
）n-1，
∴S=P1Q1+P2Q2+…+PnQn+…=1+
3
4
+（
3
4
）2+…+（
3
4
）n-1+…，①
①×
4
3
得，
4
3
S=
4
3
+1+
3
4
+（
3
4
）2+…+（
3
4
）n-2+…，②
②-①得
4
3
S-S=
4
3
-（
3
4
）n-1…，
當(dāng)n較大時(shí)，（
3
4
）n-1接近0，此時(shí)，
4
3
S-S=
4
3
，
解得S=4．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的變化，含30°的直角三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由易到難，由特殊到一般找出線(xiàn)段長(zhǎng)度的變化規(guī)律．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：同步輕松練習(xí)　八年級(jí)　數(shù)學(xué)　上 題型：059

數(shù)學(xué)探究課上李老師出了這樣一道題：“如圖，正三角形ABC中有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，試求∠APB的度數(shù)．”小明和小軍一起討論時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求∠APB度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路．請(qǐng)按照下列思路要求畫(huà)圖或判斷．

(1)在圖中畫(huà)出△APC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后的圖形△AP1B；

(2)試判斷△AP1P的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)試判斷△BP1P的形狀，并說(shuō)明理由；

(4)由2，3兩問(wèn)可知：∠APB＝________．

李老師看過(guò)后，夸獎(jiǎng)了他們，同時(shí)提示他們?cè)囋囈訠點(diǎn)或C點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)，對(duì)某個(gè)三角形進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)，看一看是否可以求出∠APB度數(shù)．你認(rèn)為可以嗎？如果可以，給出一種具體的旋轉(zhuǎn)方法；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

如圖，△AP1B中，BP1⊥AP1，AP1=2，∠A=30°，P1Q1⊥AB，Q1P2⊥AP1，P2Q2⊥AB，Q2P3⊥AP1…，PnQn⊥AB，Pn+1Qn⊥AP1，則S=P1Q1+P2Q2+…+PnQn+…的值為


  1. A.
    2
  2. B.
    3
  3. C.
    4
  4. D.
    8

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