Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，點E是邊AB上的一點，點F是邊CD上一點，將ABCD沿EF折疊，得到四邊形EFGH，點A的對應點為點H，點D的對應點為點G．

（1）當點H與點C重合時．
①填空：點E到CD的距離是___；
②求證：△BCE≌△GCF；
③求△CEF的面積；
（2）當點H落在射線BC上，且CH=1時，直線EH與直線CD交于點M，請直接寫出△MEF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

①作CK⊥AB于K，

∵∠B=60°，

∴CK=BCsin60°=4×=2，

∵C到AB的距離和E到CD的距離都是平行線AB、CD間的距離，

∴點E到CD的距離是2，

故答案為2；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，

由折疊可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，

∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，

∴∠BCE=∠GCF，

在△BCE和△GCF中，

，

∴△BCE≌△GCF（ASA）；

③過E點作EP⊥BC于P，

∵∠B=60°，∠EPB=90°，

∴∠BEP=30°，

∴BE=2BP，

設BP=m，則BE=2m，

∴EP=BEsin60°=2m×=m，

由折疊可知，AE=CE，

∵AB=6，

∴AE=CE=6﹣2m，

∵BC=4，

∴PC=4﹣m，

在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（m）2=（6﹣2m）2，解得m=，

∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，

∵△BCE≌△GCF，

∴CF=EC=，

∴S△CEF=××2=；

（2）

解：①當H在BC的延長線上，且位于C點的右側時時，如圖2，過E點作EQ⊥BC于Q，

∵∠B=60°，∠EQB=90°，

∴∠BEQ=30°，

∴BE=2BQ，

設BQ=n，則BE=2n，

∴QE=BEsin60°=2n×=n，

由折疊可知，AE=HE，

∵AB=6，

∴AE=HE=6﹣2n，

∵BC=4，CH=1，

∴BH=5，

∴QH=5﹣n，

在Rt△EHQ中，由勾股定理得（5﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=，

∴AE=HE=6﹣2n=，

∵AB∥CD，

∴△CMH∽△BEH，

∴=，即=，

∴MH=，

∴EM=﹣=

∴S△EMF=××2=．

②如圖3，當H在線段BC上時，過E點作EQ⊥BC于Q，

∵∠B=60°，∠EQB=90°，

∴∠BEQ=30°，

∴BE=2BQ，

設BQ=n，則BE=2n，

∴QE=BEsin60°=2n×=n，

由折疊可知，AE=HE，

∵AB=6，

∴AE=HE=6﹣2n，

∵BC=4，CH=1，

∴BH=3

∴QH=3﹣n

在Rt△EHQ中，由勾股定理得（3﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=

∴BE=2n=3，AE=HE=6﹣2n=3，

∴BE=BH，

∴∠B=60°，

∴△BHE是等邊三角形，

∴∠BEH=60°，

∵∠AEF=∠HEF，

∴∠FEH=∠AEF=60°，

∴EF∥BC，

∴DF=CF=3，

∵AB∥CD，

∴△CMH∽△BEH，

∴=，即=，

∴CM=1

∴EM=CF+CM=4

∴S△EMF=×4×2=4．

綜上，△MEF的面積為或4．

【解析】（1）①解直角三角形即可；
②根據(jù)平行四邊形的性質和折疊的性質得出∠B=∠G，∠BCE=∠GCF，BC=GC，然后根據(jù)AAS即可證明；③過E點作EP⊥BC于P，設BP=m，則BE=2m，通過解直角三角形求得EP=m，然后根據(jù)折疊的性質和勾股定理求得EC，進而根據(jù)三角形的面積就可求得；
（2）過E點作EQ⊥BC于Q，通過解直角三角形求得EP=n，根據(jù)折疊的性質和勾股定理求得EH，然后根據(jù)三角形相似對應邊成比例求得MH，從而求得CM，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行四邊形的性質(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分)，還要掌握翻折變換（折疊問題）(折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等)的相關知識才是答題的關鍵．