Question

設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)（圖）．求證：∠DAE=

1

2

∠BAF．

Answer 1

分析：作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2即可，求證Rt△ABG≌Rt△ADE即可得∠DAE=∠2．

解答：證明：如圖，作∠BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H，則∠1=∠2=∠3，
所以FA=FH．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，
AF²=AD²+DF²=a²+(

3a

4

)2=

25

16

a²，
所以AF=

5

4

a=FH．
從而CH=FH-FC=

5

4

a-

a

4

=a，
所以Rt△ABG≌Rt△HCG（AAS），GB=GC=DE=

1

2

a．
從而Rt△ABG≌Rt△ADE（SAS），
所以∠DAE=∠2=

1

2

∠BAF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)，本題中正確的求Rt△ABG≌Rt△ADE是解題的關(guān)鍵．