Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊至△FCE，若CF，CE恰好與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，則⊙O的半徑為（ ）

A．1
B．-1
C．-1
D．

Answer 1

【答案】分析：連接AC交于點(diǎn)O，設(shè)EC與⊙O相切于點(diǎn)N，連接ON，由O為正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又CF與CE為圓O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折疊可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的內(nèi)角為直角，可得出∠ECB為30°，在直角三角形CON中，求出CO的長(zhǎng)，再利用sin∠OCN=sin15°=，即可得到NO的長(zhǎng)．
解答：解：連接AC交于點(diǎn)O，設(shè)EC與⊙O相切于點(diǎn)N，連接ON，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF與CE都為圓O的切線，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿著CE折疊至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=∠BCD=30°，
∴∠OCN=15°，
∵BC=AB=4，
∴CO=AC=2，
∵sin∠OCN=sin15°==，
∴=，
即ON=×2===-1，
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握定理及性質(zhì)由半角公式求出半徑是解本題的關(guān)鍵．