Question

已知一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=

k

x

的圖象相交于A、B兩點，坐標(biāo)分別為（-1，2）、（m，-1）．
（1）求兩個函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合圖象寫出y₁≤y₂時，x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積；
（4）是否存在一點P，使以點A﹑B﹑O﹑P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出頂點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法可分別求得兩個函數(shù)的解析式；
（2）利用（1）中的解析式聯(lián)立方程組，即可求得交點坐標(biāo)，結(jié)合圖形可寫出x的取值范圍；
（3）把△AOB的面積分為兩部分，即S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC；
（4）利用菱形的性質(zhì)，根據(jù)線段的中點橫坐標(biāo)是兩個端點橫坐標(biāo)的和的一半，縱坐標(biāo)也是兩個端點縱坐標(biāo)和的一半，即可求解．

解答：解：（1）把點A（-1，2），代入y₂=

k

x

得：
xy=k=-1×2=-2，
∴y₂=-

2

x

，
把點B（m，-1）代入解析式y(tǒng)₂=-

2

x

中，得
m=2，
∴B（2，-1），進(jìn)而代入y₁=ax+b得：

2a+b=-1 -a+b=2

，
解得：

a=-1 b=1

，
∴直線解析式為：y₁=-x+1；

（2）當(dāng)-x+1=-

2

x

時，
整理，得
x²-x-2=0
解得x₁=-1，x₂=2，
即點A（-1，2），點B（2，-1）
當(dāng)y₁≤y₂時，-1≤x＜0或x≥2．

（3）當(dāng)x=0時，y=-x+1=1，即OC=1
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×1×1+

1

2

×2×1=

3

2

．

（4）存在．
若四邊形OAPB是菱形，則AB，OP互相垂直平分，即點M既是AB的中點，又是OP的中點．
∵點A是（-1，2），點B是（2，-1）
∴點M的坐標(biāo)是（

1

2

，

1

2

）
∴點P的坐標(biāo)是（1，1）．

點評：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和三角形以及菱形相結(jié)合的綜合性知識．通過解方程組求出交點坐標(biāo)，知道線段的中點坐標(biāo)與兩個端點之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．