Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中， 是邊長為的等邊三角形，直線與軸、、分別交于點、、． ，過點作，交于點．

（）點的坐標為__________．（結果保留根號）

（）求證：點、關于軸對稱．

（）若，求直線對應的函數表達式．

Answer 1

【答案】（）．（）證明見解析．（）

【解析】試題分析：（1）過點A作AM⊥x軸于點M，根據等邊三角形的性質可知：AO=3，∠AOM=60°，在Rt△AMO中利用30°角的對邊為斜邊的一半結合勾股定理可求出AM、OM的長，從而得出點A的坐標；

（2）由EF∥OA利用平行線的性質可得出∠BFE=∠BOA=60°，結合∠OBA=60°可得出△BEF為等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得出BE=BF可得出BE=BF、BO=BA，進而即可得出AE=OF，再由OC=AE即可得出OC=OF，從而證出點C、F關于y軸對稱；

（3）設OC=OF=x，根據邊與邊的關系找出∠OCD=∠ODC，再根據平行線的性質即可得出∠CEF=∠CDO=∠ECF，進而可得出CF=EF，由此即可得出關于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值，進而可得出點C、D的坐標，利用待定系數法即可求出直線l對應的函數表達式．

試題解析：解：（1）過點A作AM⊥x軸于點M，如圖1所示．

∵△A0B是邊長為3的等邊三角形，∴AB=OB=OA=3，且∠AOM=60°．

在Rt△AMO中，OA=3，∠AOM=60°，∴∠OAM=30°，∴OM=OA=，AM==，∴點A的坐標為（， ）．

（2）證明：若證C、F關于y軸對稱，只需證OC=OF即可．

∵EF∥OA，∴∠BFE=∠BOA=60°，∵∠OBA=60°，∴△BEF為等邊三角形，∴BE=BF．

∵△AOB是等邊三角形，∴BO=BA，∴AE=AB﹣BE=OB﹣BE=OF，又∵0C=AE，∴OC=OF，∴點C、F關于y軸對稱．

（3）設OC=OF=x，∵OB=3，∴BF=EF=3﹣x，∵AD=EF，∴AD=3﹣x．

∵OA=3，∴OD=x，∴∠OCD=∠ODC．

∵OA∥EF，∴∠CEF=∠CDO=∠ECF，∴EF=CF，即3﹣x=2x，解得：x=1，∴點C的坐標為（﹣1，0），點D的坐標為（， ）．

設直線l對應的函數表達式為y=kx+b，將點C（﹣1，0）、點D（， ）代入直線l對應的函數表達式中，得，解得： ．

故直線l對應的函數表達式為．