Question

【題目】（1）探究發(fā)現(xiàn)：下面是一道例題及解答過程，請補(bǔ)充完整：

如圖①在等邊△ABC內(nèi)部，有一點(diǎn)P，若∠APB=150°，求證：AP2+BP2=CP2

證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等邊三角形

∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=

∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°

∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2

（2）類比延伸：如圖②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APB=135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）聯(lián)想拓展：如圖③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點(diǎn)P在直線AB上方，且∠APB=60°，滿足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），請直接寫出k的值．

Answer 1

【答案】（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，見解析；（3）k=

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理直接寫出即可．

（2）將△APC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接PP′，論證PP′=2PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．

（3）將△APC 繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP′B，連接PP′，過點(diǎn)A作AH⊥PP′，論證PP′=PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．

（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2

（2）關(guān)系式為：2PA2+PB2=PC2

證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等腰直角三角形，

∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B，

∵∠APB=135°，

∴∠BPP’=90°，

∴P’P2+BP2=P’B2，

∴2PA2+PB2=PC2．

（3）k=

將△APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP’B，連接PP’，過點(diǎn)A作AH⊥PP’，

可得