Question

如圖，已知平行四邊形ABCD及四邊形外一直線l，四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D到直線l的距離分別為a、b、c、d．
（1）觀察圖形，猜想得出a、b、c、d滿足怎樣的關(guān)系式？證明你的結(jié)論．
（2）現(xiàn)將l向上平移，你得到的結(jié)論還一定成立嗎？請(qǐng)分情況寫(xiě)出你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）a、b、c、d滿足a+c=b+d．
證明：連接AC、BD，且AC、BD相交于點(diǎn)O，OO₁為點(diǎn)O到O₁的距離，
∴OO₁為直角梯形BB₁D₁D的中位線，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d．

（2）不一定成立．
分別有以下情況：
直線l過(guò)A點(diǎn)時(shí)，c=b+d；
直線l過(guò)A點(diǎn)與B點(diǎn)之間時(shí)，c-a=b+d；
直線l過(guò)B點(diǎn)時(shí)，c-a=d；
直線l過(guò)B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，a-c=b-d；
直線l過(guò)D點(diǎn)時(shí)，a-c=b；
直線l過(guò)C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，a-c=b+d；
直線l過(guò)C點(diǎn)時(shí)，a=b+d；
直線l過(guò)C點(diǎn)上方時(shí)，a+c=b+d．
分析：（1）此題可以連接平行四邊形的對(duì)角線，交點(diǎn)是O．作OO₁⊥l于O₁．根據(jù)梯形的中位線定理得到2OO₁=DD₁+BB₁=b+d=AA₁+CC₁=a+c．
（2）將l向上平移，分別有直線l過(guò)B點(diǎn)時(shí)；直線l過(guò)B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)；直線l過(guò)D點(diǎn)時(shí)；直線l過(guò)C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)；直線l過(guò)C點(diǎn)時(shí)；直線l過(guò)C點(diǎn)上方時(shí)．結(jié)合三角形的中位線定理和梯形的中位線定理進(jìn)行分析．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理及梯形的中位線定理，難度較大，尤其第二問(wèn)的解答，所分情況比較多，注意不要遺漏．