【題目】如圖,四邊形ABCD的內(nèi)角∠DCB與外角∠ABE的平分線相交于點F.
(1)若BF∥CD,∠ABC=80°,求∠DCB的度數(shù);
(2)已知四邊形ABCD中,∠A=105,∠D=125,求∠F的度數(shù);
(3)猜想∠F、∠A、∠D之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)50°;(2)25°;(3)∠F=(∠A+∠D-180)°.
【解析】
(1)由∠ABC=80°,可知∠ABE=100°,根據(jù)BF平分∠ABE,BF∥CD可得∠BCD=50°.
(2)由三角形外角性質(zhì)可知∠F=∠FBE-∠FCE,而BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,故∠F=(∠ABE-∠FCE),由補角性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和可得∠ABE=360°-∠A-∠B-∠BCD,將已知代入即可求解;
(3)同(2)可得∠F=(∠A+∠D-180°)
解:(1)∵∠ABC=80°,
∴∠ABE=180°-∠ABC=100°,
∵BF平分∠ABE,
∴∠EBF=∠ABE=50°,
∵BF∥CD
∴∠BCD=∠EBF=50°;
(2)∵∠FBE是△EBC的外角,
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,
∴∠EBF=∠ABE=,∠ECF=∠BCD,
∵∠ABE=180°-∠ABC,
∴∠F=(180°-∠ABC)-∠BCD=[180°-(∠ABC+∠BCD)],
∵在四邊形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D,
∴∠F=[180°-(360°-∠A-∠D)],
∴∠F=(∠A+∠D-180°),
∵∠A=105,∠D=125,
∴∠F=(105 +125 -180°)=25°,
(3)結(jié)論:∠F=(∠A+∠D-180°)
理由如下:∵∠FBE是△EBC的外角,
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,
∴∠EBF=∠ABE=,∠ECF=∠BCD,
∵∠ABE=180°-∠ABC,
∴∠F=(180°-∠ABC)-∠BCD=[180°-(∠ABC+∠BCD)],
∵在四邊形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D,
∴∠F=[180°-(360°-∠A-∠D)],
∴∠F=(∠A+∠D-180°),
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“一帶一路”讓中國和世界更緊密,“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示,燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn),燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度,燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.
(1)填空:∠BAN=_____°;
(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒,燈A射線才開始轉(zhuǎn)動,在燈B射線到達BQ之前,A燈轉(zhuǎn)動幾秒,兩燈的光束互相平行?
(3)如圖2,若兩燈同時轉(zhuǎn)動,在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作∠ACD交PQ于點D,且∠ACD=120°,則在轉(zhuǎn)動過程中,請?zhí)骄?/span>∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變,請求出其數(shù)量關(guān)系;若改變,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PA是⊙O的切線,A為切點,AC是⊙O的直徑,AB是弦,PA∥BC交AB于點D.
(1)求證:PB是⊙O的切線.
(2)當(dāng)BC=2 ,cos∠AOD= 時,求PB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線OM⊥ON,垂足為O,三角板的直角頂點C落在∠MON的內(nèi)部,三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B.
(1)填空:∠OBC+∠ODC= ;
(2)如圖,若DE平分∠ODC,BF平分∠CBM,求證:DE⊥BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠為了擴大生產(chǎn),決定購買6臺機器用于生產(chǎn)零件,現(xiàn)有甲、乙兩種機器可供選擇.其中甲型機器每日生產(chǎn)零件106個,乙型機器每日生產(chǎn)零件60個,經(jīng)調(diào)査,購買3臺甲型機器和2臺乙型機器共需要31萬元,購買一臺甲型機器比購買一臺乙型機器多2萬元.
(1)求甲、乙兩種機器每臺各多少萬元?
(2)如果工廠購買機器的預(yù)算資金不超過34萬元,那么你認為該工廠有哪幾種購買方案?
(3)在(2)的條件下,如果要求該工廠購進的6臺機器的日產(chǎn)量能力不能低于400個,那么為了節(jié)約資金.應(yīng)該選擇哪種方案?
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【題目】振興中學(xué)某班的學(xué)生對本校學(xué)生會倡導(dǎo)的“抗震救災(zāi),眾志成城”自愿捐款活動進行抽樣調(diào)查,得到了一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù).下圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖,圖中從左到右各長方形的高度之比為3∶4∶5∶8∶6,又知此次調(diào)查中捐款25元和30元的學(xué)生一共42人.
(1)他們一共調(diào)查了多少人?
(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)各是多少?
(3)若該校共有1560名學(xué)生,估計全校學(xué)生捐款多少元.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則在①a<0,②b>0,③c<0,④b2﹣4ac>0中錯誤的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】在Rt△ABC,∠C=90°,D為AB邊上一點,點M、N分別在BC、AC邊上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于點F,NE⊥AB于點E.
(1)特殊驗證:如圖1,若AC=BC,且D為AB中點,求證:DM=DN,AE=DF;
(2)拓展探究:若AC≠BC.
①如圖2,若D為AB中點,(1)中的兩個結(jié)論有一個仍成立,請指出并加以證明;
②如圖3,若BD=kAD,條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”,其它條件不變,請?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
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