Question

【題目】如圖，直線y=2x+3與y軸交于A點，與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象交于點B，過點B作BC⊥x軸于點C，且C點的坐標為（1，0）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點D（a，1）是反比例函數(shù)y= （x＞0）圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PB+PD最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BC⊥x軸于點C，且C點的坐標為（1，0），

∴在直線y=2x+3中，當x=1時，y=2+3=5，

∴點B的坐標為（1，5），

又∵點B（1，5）在反比例函數(shù)y= 上，

∴k=1×5=5，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

（2）

解：將點D（a，1）代入y= ，得：a=5，

∴點D坐標為（5，1）

設點D（5，1）關(guān)于x軸的對稱點為D′（5，﹣1），

過點B（1，5）、點D′（5，﹣1）的直線解析式為：y=kx+b，

可得： ，

解得： ，

∴直線BD′的解析式為：y=﹣ x+ ，

根據(jù)題意知，直線BD′與x軸的交點即為所求點P，

當y=0時，得：﹣ x+ =0，解得：x= ，

故點P的坐標為（ ，0）

【解析】（1）先根據(jù)直線y=2x+3求出點B坐標，再利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式；
　　　　（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出點D 的坐標，若要在x軸上找一點P，使PB+PD最小，可作點D關(guān)于x的軸的對稱點D′，連接BD′，直線BD′與x軸的交點即為所求點P．本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題及依據(jù)軸對稱性質(zhì)求最短路線問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
【考點精析】關(guān)于本題考查的軸對稱-最短路線問題，需要了解已知起點結(jié)點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結(jié)點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．