Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0），B（3，0），與y軸交于C（0，－3），頂點(diǎn)為點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)P是直線BC在y軸右側(cè)部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△AOC相似，求符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，CD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)Q是線段CD上的一動(dòng)點(diǎn)，作直線QN與線段AC交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)E，且∠BQE＝∠BDC，當(dāng)CN的值最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】 （1）y＝x2－2x－3,M（1，－4）;（2）P1（，－），P2（3，0）;（3）E（－10，0）．

【解析】試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求a的值；（2）連接MC，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，構(gòu)造出直角三角形，由直角三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例分情況討論即可；（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，可求出線段BD的值，由拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性可得到△NCQ∽△QDB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．

試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于A（－1，0），B（3，0），

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)．

把（0，－3）代入y＝a(x＋1)(x－3)，解得a＝1．

∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3．

∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，－4）．

（2）連接MC，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，－4）．

∵MF＝1，CF＝－3－(－4)＝1，

∴MF＝CF，MC＝．

∴∠FCM＝∠FMC＝45°．

∵B（3，0），C（0，－3），∴OB＝OC＝3．

而∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．

∴∠MCB＝180°－∠OCB－∠FCM＝90°．

由此可知，∠MCP＝90°，則點(diǎn)O與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸于H．

①若有△PCM∽△AOC，則有＝．

∴CP＝＝＝．

∵∠PCH＝45°，CP＝，

∴PH＝CH＝÷＝．

∴OH＝OC－CH＝3－＝．

∴P1（，－）；

②若有△PCM∽△COA，則有＝．

∴CP＝＝＝．

∴PH＝CH＝÷＝3．此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合．

∴P2（3，0）．

∴符合題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（，－），P2（3，0）．

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，0），Q的坐標(biāo)為（m，－3）．

∵CD∥x軸，

∴D的縱坐標(biāo)為－3．

把y＝－3代入y＝x2－2x－3，

∴x＝0或x＝2．

∴D（2，－3）．

∵B（3，0），

∴由勾股定理可求得：BD＝．

∵Q（m，－3），

∴QD＝2－m，CQ＝m（0≤m≤2）．

∵∠BQE＝∠BDC，∠EQC＋∠BQE＝∠BDC＋∠QBD，

∴∠EQC＝∠QBD．

又由拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性可知：∠NCQ＝∠BDC，

∴△NCQ∽△QDB．

∴＝．

∴＝．

∴CN＝－(m2－2m)＝－(m－1)2＋．

∴當(dāng)m＝1時(shí)，CN可取得最大值．此時(shí)Q的坐標(biāo)為（1，－3）．

∴QG＝3，BG＝2，QD＝1．

∴由勾股定理可求得：QB＝．

∵E（n，0），

∴EB＝3－n．

∵CD∥x軸，

∴∠BEQ＝∠NQC＝∠QBD，∠EBQ＝∠BQD．

∴△EQB∽△BDQ．

∴＝．

∴BQ2＝QDEB，即13＝1×(3－n)，

∴n＝－10．

∴E的坐標(biāo)為（－10，0）．