【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C1:y=ax2+4x+4a(0<a<2)
(1)當(dāng)C1與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)時(shí),求此時(shí)C1的解析式;
(2)如圖①,若A(1,yA),B(0,yB),C(﹣1,yC)三點(diǎn)均在C1上,連BC作AE∥BC交拋物線C1于E,求點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離;
(3)若a=1,將拋物線C1先向右平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到拋物線C2 , 如圖②,拋物線C2與x軸相交于點(diǎn)M、N(M點(diǎn)在N點(diǎn)的左邊),拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C2相交于P,Q(P在第四象限)且S△FMQ=2S△FNP , 求直線l的解析式.
【答案】
(1)
解:根據(jù)題意得△=42﹣4a4a=0,解得a1=1,a2=﹣1,
而0<a<2,
所以a=1,
所以此時(shí)C1的解析式為y=x2+4x+4;
(2)
解:根據(jù)題意得A(1,5a+4),B(0,4a),C(﹣1,5a﹣4),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4a,
把C(﹣1,5a﹣4)代入得﹣k+4a=5a﹣4,解得k=4﹣a,
∴直線BC的解析式為y=(4﹣a)x+4a,
∵BC∥AE,
∴AE的解析式可設(shè)為y=(4﹣a)x+n,
把A(1,5a+4)代入得4﹣a+n=5a+4,解得n=6a,
∴直線AE的解析式為y=(4﹣a)x+6a,
方程組 消去y得x2+x﹣2=0,解得x1=1,x2=﹣2,
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2,
∴點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為2;
(3)
解:作QA⊥x軸于A,PB⊥x軸于B,如圖,
當(dāng)a=1時(shí),y=x2+4x+4=(x+2)2,拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0),把點(diǎn)(﹣2,0)先向右平移3個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,﹣2),
所以拋物線C2的解析式為y=(x﹣1)2﹣2,即y=x2﹣2x﹣1,則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,所以F(1,0)
∵拋物線C2與x軸相交于點(diǎn)M、N(M點(diǎn)在N點(diǎn)的左邊),
∴FM=FN,
∵S△FMQ=2S△FNP,
∴QA=2PB,
∵AQ∥PB,
∴ =2,即FA=2BF,
設(shè)P(t,t2﹣2t﹣1),則BF=t﹣1,
∴AF=2(t﹣1),
∴OA=2(t﹣1)﹣1=2t﹣3,
∴Q[3﹣2t,(3﹣2t)2﹣2(3﹣2t)﹣1]
∴(3﹣2t)2﹣2(3﹣2t)﹣1=﹣2(t2﹣2t﹣1),
整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴P(2,﹣1),Q(﹣1,2),
設(shè)直線PQ的解析式為y=px+q,
把P(2,﹣1),Q(﹣1,2)代入得 ,解得 ,
∴直線l的解析式為y=﹣x+1.
【解析】(1)根據(jù)△的意義和拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得△=42﹣4a4a=0,然后解方程求出滿足條件的a的值,從而得到此時(shí)C1的解析式;(2)先用a表示出A(1,5a+4),B(0,4a),C(﹣1,5a﹣4),再利用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式為y=(4﹣a)x+4a,根據(jù)兩直線平行問(wèn)題,AE的解析式可設(shè)為y=(4﹣a)x+n,則把A(1,5a+4)代入得n=6a,所以直線AE的解析式為y=(4﹣a)x+6a,通過(guò)解方程組 可得E點(diǎn)和A點(diǎn)坐標(biāo),消去y得x2+x﹣2=0,然后解方程求出x即可得到E點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而得到點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離;(3)作QA⊥x軸于A,PB⊥x軸于B,如圖,當(dāng)a=1時(shí),y=(x+2)2 , 則拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0),利用拋物線的幾何變換得到拋物線C2的解析式為y=(x﹣1)2﹣2,即y=x2﹣2x﹣1,F(xiàn)(1,0),利用拋物線的對(duì)稱性得FM=FN,再利用三角形面積公式可得QA=2PB,利用平行線分線段成比例定理得FA=2BF,設(shè)P(t,t2﹣2t﹣1),則BF=t﹣1,AF=2(t﹣1),則OA=2(t﹣1)﹣1=2t﹣3,所以Q[3﹣2t,(3﹣2t)2﹣2(3﹣2t)﹣1],然后利用AQ=2PB得到(3﹣2t)2﹣2(3﹣2t)﹣1=﹣2(t2﹣2t﹣1),解得t1=0(舍去),t2=2,于是得到P(2,﹣1),Q(﹣1,2),最后利用待定系數(shù)法確定直線l的解析式.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】宜興科技公司生產(chǎn)銷售一種電子產(chǎn)品,該產(chǎn)品總成本包括技術(shù)成本、制造成本、銷售成本三部分,經(jīng)核算,2013年該產(chǎn)品各部分成本所占比例約為2:a:1.且2013年該產(chǎn)品的技術(shù)成本、制造成本分別為400萬(wàn)元、1400萬(wàn)元.
(1)確定a的值,并求2013年產(chǎn)品總成本為多少萬(wàn)元;
(2)為降低總成本,該公司2014年及2015年增加了技術(shù)成本投入,確保這兩年技術(shù)成本都比前一年增加一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)m(m<50%),制造成本在這兩年里都比前一年減少一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)2m;同時(shí)為了擴(kuò)大銷售量,2015年的銷售成本將在2013年的基礎(chǔ)上提高10%,經(jīng)過(guò)以上變革,預(yù)計(jì)2015年該產(chǎn)品總成本達(dá)到2013年該產(chǎn)品總成本的 ,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】折疊矩形紙片ABCD的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處,已知AB=8cm,BC=10cm,折痕AE的長(zhǎng)( )
A. cm B. cm C. 12cm D. 13cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜的發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí),都可以用“面積法”來(lái)證明,下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程:
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2.
證明:連結(jié)DB,過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b﹣a,
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC= 12 b2+ 12 ab.
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB= 12 c2+ 12 a(b﹣a)
∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a(b﹣a)
∴a2+b2=c2
請(qǐng)參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠DAB=90°.求證:a2+b2=c2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠ADC=150°,四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32.
(1)求∠BDC的度數(shù);
(2)四邊形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ACB=90°,AC=BC,BD⊥DE,AE⊥DE,垂足分別為D、E.(這幾何模型具備“一線三直角”)如下圖:
(1)①請(qǐng)你證明:△ACE≌△CBD;②若AE=3,BD=5,求DE的長(zhǎng);
(2)遷移:如圖:在等腰Rt△ABC中,且∠C=90°,CD=2,BD=3,D、E分別是邊BC,AC上的點(diǎn),將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)E剛好落在邊AB上的點(diǎn)F處,則CE=________。(不要求寫(xiě)過(guò)程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某瓜農(nóng)采用大棚栽培技術(shù)種植了一畝地的良種西瓜,這畝地產(chǎn)西瓜600個(gè),在西瓜上市前該瓜農(nóng)隨機(jī)摘下了10個(gè)成熟的西瓜,稱重如下:
西瓜質(zhì)量(單位:千克) | 5.4 | 5.3 | 5.0 | 4.8 | 4.4 | 4.0 |
西瓜數(shù)量(單位:個(gè)) | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 |
(1)這10個(gè)西瓜質(zhì)量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是 和 ;
(2)計(jì)算這10個(gè)西瓜的平均質(zhì)量,并根據(jù)計(jì)算結(jié)果估計(jì)這畝地共可收獲西瓜約多少千克?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(a,0),B(b,0),其中a,b滿足|a+1|+(b﹣3)2=0.
(1)填空:a= ,b= ;
(2)如果在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)M(﹣2,m),請(qǐng)用含m的式子表示△ABM的面積;
(3)在(2)條件下,當(dāng)m=時(shí),在y軸上有一點(diǎn)P,使得△BMP的面積與△ABM的面積相等,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△中,的平分線與的平分線相交于點(diǎn).
⑴.若,求和度數(shù);
⑵.由第⑴小題的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)和有什么關(guān)系?它們是不是一定有這種關(guān)系?請(qǐng)作出說(shuō)明.
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