Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y= 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D，過點B作BC的垂線，交對稱軸于點E．

（1）求證：點E與點D關(guān)于x軸對稱；
（2）點P為第四象限內(nèi)的拋物線上的一動點，當△PAE的面積最大時，在對稱軸上找一點M，在y軸上找一點N，使得OM+MN+NP最小，求此時點M的坐標及OM+MN+NP的最小值；
（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點D在射線AD上移動，點D平移后的對應(yīng)點為D′，點A的對應(yīng)點A′，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點F，將△FBC沿BC翻折，使點F落在點F′處，在平面內(nèi)找一點G，若以F′、G、D′、A′為頂點的四邊形為菱形，求平移的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，令y=0，得到 x2﹣ x﹣3=0，解得x=﹣ 或3 ，

∴A（﹣ ，0），B（3 ，0），

令x=0，可得y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∵y= x2﹣ x﹣3= （x﹣ ）2﹣4，

∴頂點D（ ，﹣4），設(shè)對稱軸與x軸交于F，則BF=2 ，

∵△EFB∽△BOC，

∴ = ，

∴ = ，

∴EF=4，

∴E（ ，4），

∴E、D關(guān)于x軸對稱．

（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AE于點Q．

∵yAE= x+2，

∴設(shè)P（a， a2﹣ a﹣3），Q（a， a+2），（0＜a＜3 ），

∴PQ=（ a+2）﹣（ a2﹣ a﹣3）=﹣ a2+2 a+5，

∴S△PAE= PQ|xE﹣xA|= （﹣ a2+2 a+5）2 =﹣ a2+4a+5 ，

∴當a=﹣ =2 時，S△PAE最大，此時P（2 ，﹣3），

作點O關(guān)于對稱軸的對稱點O′（2 ，0），作點P關(guān)于Y軸的對稱點P′（﹣2 ，﹣3），連接O′P′，分別交對稱軸、y軸于點M、N，此時M、N即為所求．

∴yP′O′= x﹣ ，當x= 時，y=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

∴OM+MN+NP的最小值O′P′= = ．

（3）∵F′（ ，﹣ ），A（﹣ + t，﹣2t），D（ ，﹣4），

設(shè)平移距離為 t，則A′（﹣ + t，﹣2t），D′（ + t，﹣4﹣2t），

A′F2=6t2﹣24t+ ，D′F′2=6t2+ ，A′D′2=24，

①當A′F2=D′F′2時，6t2﹣24t+ =6t2+ ，解得t=1．

②當A′F′2=A′D′2時，6t2﹣24t+ =24，解得t= ．

③當D′F′2=A′D′2時，24=6t2+ ，解得t= 或﹣ （舍棄），

∴平移的距離 t= ， ， ．

【解析】（1）首先求出A、B、C、D的坐標，再根據(jù)△EFB∽△BOC對應(yīng)邊成比例得出方程，推出EF的長度，求出點E的坐標即可解決問題；
（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AE于點Q．構(gòu)建 二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點P的坐標，作點O關(guān)于對稱軸的對稱點O′，作點P關(guān)于Y軸的對稱點P′，連接O′P′，分別交對稱軸、y軸于點M、N，此時M、N即為所求；
（3）由題意得F,A,D三點的坐標，設(shè)平移距離為 t，則得出A′，D′的坐標，可得A′F2，，D′F′2，A′D′2的長度，然后分三種情形①當A′F2=D′F′2時，②當A′F′2=A′D′2時，③當D′F′2=A′D′2時列出方程即可解決問題。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解作軸對稱圖形的相關(guān)知識，掌握畫對稱軸圖形的方法：①標出關(guān)鍵點②數(shù)方格，標出對稱點③依次連線，以及對相似三角形的性質(zhì)的理解，了解對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．