證明：平行四邊形的對(duì)角線的平方之和等于各邊的平方之和．

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC和BD是對(duì)角線．

求證：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2．

答案：
解析：

　　證明：過(guò)A作AE⊥BC于E，過(guò)D作DF⊥BC于F．

　　∵AB＝CD，AE＝DF，(作垂直構(gòu)造直角)

　　∴Rt△ABE≌Rt△DCF，∴BE＝CF．

　　∵AC2＝(BC－BE)2＋AE2＝BC2－2BC·BF＋BE2＋AE2

　�。紹C2＋BE2－2BC·BE＋AB2－BE2

　�。紹C2＋AB2－2BC·BE，

　　而BD2＝(BC＋CF)2＋DF2＝BC2＋2BC·CF＋CF2＋DC2－CF2

　�。紹C2＋CD2＋2BC·BE，(用上全等得到邊的轉(zhuǎn)化)

　　∴AC2＋BD2＝BC2＋AB2－2BC·BE＋BC2＋CD2＋2BC·BE

　�。紸B2＋BC2＋CD2＋DA2．

　　分析：從所求證算式的結(jié)構(gòu)上看，平方和的形式容易聯(lián)想到勾股定理，因此首先要想辦法構(gòu)造直角三角形．


提示：

注：本題的易錯(cuò)點(diǎn)是不先寫已知求證，解題的關(guān)鍵是做出輔助線構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

76、要證明“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形”是假命題，可舉反例
含有一個(gè)30°角的平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，但不是矩形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

12、閱讀下列證明過(guò)程：
已知，如圖：四邊形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．

讀后完成下列各小題．
（1）證明過(guò)程是否有錯(cuò)誤如有，錯(cuò)在第幾步上，答：
沒(méi)有錯(cuò)誤
．
（2）作DE∥AB的目的是：
為了證明AD∥BC
．
（3）判斷四邊形ABED為平行四邊形的依據(jù)是：
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
．
（4）判斷四邊形ABCD是等腰梯形的依據(jù)是
梯形及等腰梯形的定義
．
（5）若題設(shè)中沒(méi)有AD≠BC，那么四邊形ABCD一定是等腰梯形嗎？為什么？
答
不一定，因?yàn)楫?dāng)AD=BC時(shí)，四邊形ABCD是矩形
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在下面推理過(guò)程的括號(hào)內(nèi)填上推理的依據(jù)
已知，如圖所示，在?ABCD中，BF=DE．
求證：∠EAF=∠ECF
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形（
已知
已知
）
∴DC=AB（
平行四邊形的對(duì)邊相等
平行四邊形的對(duì)邊相等
）
DC∥AB（
平行四邊形的對(duì)邊相互平行
平行四邊形的對(duì)邊相互平行
）
又∵BF=DE（
已知
已知
）
∴AB-BF=DC-DE（
等量代換
等量代換
）
即AF=CE（
等量代換
等量代換
）
∴AF 
∥
.
CE
∴四邊形AFCE是平行四邊形（
對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
）
∴∠EAF=∠ECF（
平行四邊形的對(duì)角相等
平行四邊形的對(duì)角相等
）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°，操作示例：我們可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，裁掉△PEC，并將△PEC拼接到△PFD的位置，構(gòu)成新的圖形（如圖2）．
思考發(fā)現(xiàn)：小明在操作后發(fā)現(xiàn)，該剪拼方法就是先將△PEC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°到△PFD的位置，易知PE與PF在同一條直線上．又因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，則∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一條直線上，那么構(gòu)成的新圖形是一個(gè)四邊形，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的定義，可以得出四邊形ABEF是一個(gè)平行四邊形．
實(shí)踐探究：
（1）類比圖2的剪拼方法，請(qǐng)你分別就圖3和圖4的兩種情形沿一條直線進(jìn)行剪切，畫出剪拼成一個(gè)平行四邊形的示意圖．
聯(lián)想拓展：小明探究后發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)四邊形中，只要有一組對(duì)邊平行，就可以剪拼成平行四邊形．
（2）如圖5的多邊形ABCDE中，AE∥CD，若連接AC，則恰有AC∥ED．請(qǐng)你象上面剪法一樣沿一條直線進(jìn)行剪切，將多邊形ABCDE拼成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)你在圖5中畫出剪拼的示意圖，并簡(jiǎn)要寫明剪拼方法（不需證明）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年云南省昆明三中、滇池中學(xué)八年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，是平行四邊形的對(duì)角線上的點(diǎn)，．請(qǐng)你猜想：與有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明：

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