Question

如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，與AC相交于點D，連接AE．
（1）求證：AE平分∠CAB；
（2）當AE=EC，AC=3時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OE，則OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，進而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，進而可得出∠1=∠2；
（2）利用（1）中的結論求得∠1=∠2．所以由等腰△AEC的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質求得3∠C=90°，則∠C=30°，所以通過解直角△OEC即可求得該圓的半徑．

解答：（1）證明：連接OE，
∵⊙O與BC相切于點E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠2=∠AEO．
∵OA=OE，
∴∠1=∠AEO，
∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；

（2）由（1）知，∠1=∠2、
∵AE=EC，
∴∠1=∠C．
∴∠1+∠2+∠C=3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OE=

1

2

OC，即OE=

1

2

（3-OE），
解得，OE=1，即該圓的半徑是1．

點評：本題考查的是切線的性質、等腰三角形的性質，在解答此類題目時要熟知“若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系”．