Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)A作⊙O的切線，在切線上截取AC＝AB，連結(jié)OC交⊙O于D，連結(jié)BD并延長(zhǎng)交AC于E，⊙F是△ADE的外接圓，F(xiàn)在AE上．

求證：(1)CD是⊙F的切線；(2)CD＝AE．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：(1)連結(jié)DF，∵OA=OD，F(xiàn)A=FD，∴∠OAD=∠ODA，∠FAD=∠FDA，∴∠BAC=∠FDO．∵AC為⊙O的切線，∴∠BAC=．∴∠FDO=，∴CD⊥DF．∴CD是⊙F的切線； 　　(2)∵DF⊥CD，∴Rt△CDF∽R(shí)t△CAO．∴．又∵AC=AB =2OA，∴．∴CD=2DF．∵AE=2DF，∴CD=AE． 　　證法二：(1)連結(jié)DF．∵AC是⊙O的切線，∴∠BAE=，∴∠B+∠AEB =．∵FD=FE，∴∠FDE=∠FED．∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=∠EDC．∴∠FDC=∠EDC=∠FEB+∠B=．∴∠CD⊥DF．∴CD是⊙F的切線 　　(2)∵CD是⊙F的切線，∴CD2=CE·CA．設(shè)AC=AB=2r，∴CD2=(AC－AE)·AC=4r2－2r·AE．①　∵AC是⊙O的切線，∴AC2=CD(CD＋2r)．∴CD2=4r2－2r·CD．②　由①和②得　CD=AE．