Question

16．如圖，△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，M是DB中點，求證：CM⊥AE．

Answer 1

分析 延長DC至F，使CF=CD，連接BF，延長AE交BF于N，由等腰直角三角形的性質得出CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，得出∠ECF=∠ACB，CE=CF，延長∠1=∠2，由SAS證明△ACE≌△BCF，得出∠3=∠4，由對頂角相等和三角形內角和定理求出∠ANB=∠ACB=90°，得出AN⊥BF，證出CM是△BDF的中位線，得出CM∥BF，即可得出結論．

解答 證明：延長DC至F，使CF=CD，連接BF，延長AE交BF于N，如圖所示：
∵△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，
∴CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ECF=90°=∠ACB，CE=CF，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{CE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠6，
∴∠ANB=∠ACB=90°，
∴AN⊥BF，
∵M是DB中點，CF=CD，
∴CM是△BDF的中位線，
∴CM∥BF，
∴CM⊥AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵．