Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）過點A（-1，0），B（4，0），與y軸交與點C，頂點為D．
（1）求拋物線的解析式與頂點D的坐標；
（2）點E從A點出發(fā)，沿x軸向B點運動并到點B停止（點E與點A，B不重合）過點E作直線l平行BD，交直線AD于點F，設AE的長為m，連接DE，求△DEF面積的最大值及此時點E到BD的距離；
（3）試探究：
①在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得MA+MC的值最��？若存在請求出M的坐標，若不存在，請說明理由；
②在拋物線的對稱軸上是否存在點N，使丨NA-NC丨的值最大？若存在請求出N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B點的坐標代入拋物線的解析式，即可得出a、b值，再將拋物線解析式變成頂點式，即可得出頂點坐標；
（2）利用相似三角形的性質，用m表示出FD的長度，再由點到直線的距離公式，用m表示出點E到直線AD的距離，由三角形的面積公式即能變成出△DEF的面積，配方即可得到極值，利用面積取極值時的m的值，找出E點坐標，再根據點到直線的距離公式，即可求出此時點E到BD的距離；
（3）①利用三角形的兩邊之和大于第三邊，可以找到使得MA+MC的值最小時的點M的位置，求兩直線的交點即可得出M點坐標；②利用三角形的兩邊之差小于第三邊，可以找到使丨NA-NC丨的值最大時點N的位置，求兩直線的交點即可得出N點坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）過點A（-1，0），B（4，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{25}{8}$，
∴頂點D的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（2）按照題意，作出圖形1，如下，

設AEAE的長為m，則E點坐標為（m-1，0）．
∵A（-1，0），B（4，0），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴AB=5，AD=BD=$\frac{5\sqrt{41}}{8}$．
∵EF∥BD，
∴∠AFE=∠ADB，∠AEF=∠ABD，
∴△AEF∽△ABD，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，AF=$\frac{\sqrt{41}}{8}$m，FD=AD-AF=$\frac{\sqrt{41}}{8}$（5-m）．
設直線AD的解析式為y=kx+b，
∵A（-1，0），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）在直線AD上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{-\frac{25}{8}=\frac{3}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{5}{4}$，即$\frac{5}{4}$x+y+$\frac{5}{4}$=0．
點E到直線AD的距離h=$\frac{|\frac{5}{4}（m-1）+\frac{5}{4}|}{\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$m，
△DEF的面積=$\frac{1}{2}$•FD•h=-$\frac{5}{16}$m²+$\frac{25}{16}$m=-$\frac{5}{16}$${（m-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{125}{64}$，
當m=$\frac{5}{2}$時，△DEF的面積最大，最大值為$\frac{125}{64}$．
設直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，
則有$\left\{\begin{array}{l}{0=4{k}_{1}+_{1}}\\{\frac{25}{8}=\frac{3}{2}{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{5}{4}}\\{_{1}=-5}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式y=$\frac{5}{4}$x-5，即$\frac{5}{4}$x-y-5=0，
∵點E坐標為（$\frac{3}{2}$，0），
∴點E到BD的距離為$\frac{|\frac{5}{4}×\frac{3}{2}-5|}{\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{25\sqrt{41}}{82}$．
（3）①連接BC，作拋物線對稱軸交BC于點M，連接MA，如圖2，

由拋物線的對稱性可知，MA=MB，
MA+MC=MB+MC=BC，
∵當M點在對稱軸上移動時（不在BC上），有MB+MC＞BA（三角形兩邊之和大于第三邊），
∴當點M在BC上時，MA+MC=BC最�。�
將x=0代入拋物線解析式y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2中，得y=-2，
即點C坐標為（0，-2）．
設直線BC的解析式為y=k₃x-2，
將點B（4，0）代入，得0=4k₃-2，解得k₃=$\frac{1}{2}$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
由（1）可知拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{x=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
即使得MA+MC的值最小的M的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
②連接AC，并延長AC交拋物線對稱軸于點N，如圖3，

∵當N點在對稱軸上移動時（不在直線AC上），有|NA-NC|＜AC（三角形兩邊之差小于第三邊），
∴當點N在直線AC上時，|NA-NC|=AC最大．
∵點C（0，-2），
∴設直線AC的解析式為y=k₄x-2，
將點A（-1，0）代入，得0=-k₄-2，解得k₄=-2，
即直線AC的解析式為y=-2x-2．
拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{x=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
即使丨NA-NC丨的值最大的N的坐標為（$\frac{3}{2}$，-5）．

點評 本題考查了二次函數的綜合運用，解題的關鍵：（1）將點的坐標代入，解二元一次方程即可；（2）利用三角形相似的性質以及點到直線的距離，可以用含m的代數式表示出來面積，解極值問題即可；（3）牢記三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．