Question

如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點M．
（1）求證：△ABC≌△DCB；
（2）過點C作CN∥BD，過點B作BN∥AC，CN與BN交于點N．
①試判斷四邊形MCNB是什么特殊的四邊形，并證明你的結論；
②四邊形MCNB能成為正方形嗎？若能，請直接給出△ABC應滿足的條件；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知和BC=BC，利用定理SSS推出即可；
（2）根據平行四邊形的判定得出平行四邊形，由全等得出∠MBC=∠MCB，推出BM=CM，根據菱形的判定推出即可；
（3）根據菱形的性質求出∠MCB=∠NCB=45°，求出∠MCN=90°，根據正方形的判定推出即可．
解答：（1）證明：如圖，在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB（SSS）．

（2）四邊形BMCN是菱形．證明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四邊形BMCN是平行四邊形，
由（1）知，△ABC≌△DCB，
則∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM，
∴平行四邊形BMCN是菱形．

（3）解：四邊形MCNB能成為正方形．
△ABC應滿足的條件：∠ACB=45°，且∠ABC＞45°，
理由是：∵四邊形MCNB是菱形，
∴∠ACB=∠NCB=45°，
∴∠MCN=90°，
∴菱形MCNB是正方形．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定、平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，本題有一定的難度．