Question

【題目】已知四邊形ABCD是邊長為10的菱形，對角線AC、BD相交于點E，過點C作CF∥DB交AB延長線于點F，聯(lián)結EF交BC于點H．

（1）如圖1，當EF⊥BC時，求AE的長；

（2）如圖2，以EF為直徑作⊙O，⊙O經(jīng)過點C交邊CD于點G（點C、G不重合），設AE的長為x，EH的長為y；

①求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；

②聯(lián)結EG，當△DEG是以DG為腰的等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①y=（＜x＜10）；②或．

【解析】

（1）由菱形性質知DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分，證平行四邊形DBFC得BF=DC=AB=10及∠CAB=∠BCA，由EF⊥BC知∠CAB=∠BCA=∠CFE，據(jù)此知△AFC∽△FEC，從而得出FC2=CEAC，即FC2=2AE2，據(jù)此可得答案；

（2）①連接OB，由AB=BF、OE=OF知OB∥AC、OB=AE=EC=x，據(jù)此得==及EH=EO，根據(jù)EO2=BE2+OB2=-x2+100可得答案；②分GD=GE和DE=DG兩種情況分別求解可得．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分，

∵CF∥DB，

∴四邊形DBFC是平行四邊形，

∴BF=DC=AB=10，

∴∠CAB=∠BCA，

當EF⊥BC時，∠CAB=∠BCA=∠CFE，

∴Rt△AFC∽Rt△FEC，

∴FC2=CEAC，即FC2=2AE2，

Rt△ACF中，CF2+AC2=AF2，2AE2+4AE2=400，

解得：AE=；

（2）①如圖，連接OB，

則AB=BF、OE=OF，

∴OB∥AC，且OB=AE=EC=x，

∴==，

∴EH=EO，

在Rt△EBO中，EO2=BE2+OB2=（）2+（x）2=﹣x2+100，

∴y=EO=（＜x＜10）；

②當GD=GE時，有∠GDE=∠GED，

∵AC⊥DB，∠DEC=90°，

∴∠GCE=∠GEC，

∴GE=GC，

∴GD=GC，即G為DC的中點，

又∵EO=FO，

∴GO是梯形EFCD的中位線，

∴GO==DE，

∴y=，

∴=，

解得：x=；

如圖2，當DE=DG時，連接OD、OC、GO，

在△GDO和△EDO中，

∵，

∴△GDO≌△EDO（SSS），

∴∠DEO=∠DGO，

∴∠CGO=∠BEO=∠OFC，

∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF，

∴GC=CF，

∴DC=DG+GC=DE+2DE=10，

即3=10，

解得：x=，

綜上，AE的長為或．