Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點B、C，拋物線y=﹣+bx+c過點B、C，且與x軸交于另一個點A．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點M是線段BC上一點，過點M作直線l∥y軸交該拋物線于點N，當四邊形OMNC是平行四邊形時，求它的面積；

（3）聯(lián)結(jié)AC，設(shè)點D是該拋物線上的一點，且滿足∠DBA=∠CAO，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）（﹣5，﹣18）或（3，2）．

【解析】

（1）根據(jù)直線解析式求出點B、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式列式求解即可；

（2）設(shè)M（m，-m+2），則N（m，-m2+m+2），則MN=（-m2+m+2）-（-m+2）=-m2+2m，根據(jù)MN=OC=2列方程可得M的橫坐標，根據(jù)平行四邊形的面積公式可得結(jié)論；

（3）分兩種情況：①當D在x軸的下方：根據(jù)AC∥BD，直線解析式k相等可設(shè)直線BD的解析式為：y=2x+b，把B（4，0）代入得直線BD的解析式為：y=2x-8，聯(lián)立方程可得D的坐標；②當D在x軸的上方，根據(jù)對稱可得M的坐標，利用待定系數(shù)法求直線BM的解析式，與二次函數(shù)的交點，聯(lián)立方程可得D的坐標．

（1）當x=0時，y=2，

∴C（0，2），

當y=0時，﹣x+2=0，x=4，

∴B（4，0），

把C（0，2）和B（4，0）代入拋物線y=﹣+bx+c中得：，

解得：，

∴該拋物線的表達式：y=；

（2）如圖1，

∵C（0，2），

∴OC=2，

設(shè)M（m，﹣m+2），則N（m，），

∴MN=（+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，

∵MN∥y軸，

當四邊形OMNC是平行四邊形時，MN=OC，

即﹣m2+2m=2，

解得：m1=m2=2，

∴Sspan>OCMN=OC×2=2×2=4；

（3）分兩種情況：

當y=0時，﹣+2=0，

解得：x1=4，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），

易得直線AC的解析式為：y=2x+2，

①當D在x軸的下方時，如圖2，

∵AC∥BD，

∴設(shè)直線BD的解析式為：y=2x+b，

把B（4，0）代入得：0=2×4+b，b=﹣8，

∴直線BD的解析式為：y=2x﹣8，

則2x﹣8=+2，解得：x1=﹣5，x2=4（舍），

∴D（﹣5，﹣18）；

②當D在x軸的上方時，如圖3，

作拋物線的對稱軸交直線BD于M，將BE（圖2中的點D）于N，

對稱軸是：x=﹣=，

∵∠CAO=∠ABE=∠DAB，

∴M與N關(guān)于x軸對稱，

直線BE的解析式：y=2x﹣8，

當x=時，y=﹣5，

∴N（，﹣5），M（，5），

直線BM的解析式為：y=﹣2x+8，

﹣2x+8=﹣+2，解得：x1=3，x2=4（舍），

∴D（3，2），

綜上所述，點D的坐標為：（﹣5，﹣18）或（3，2）．