Question

（2013•撫順）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是

DE=

3

2

BC

；
（2）如圖2，若P是線段CB上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動點(diǎn)，按照（2）中的作法，請在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE=

3

2

BC；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，則可根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC-BP，DE=

3

2

BC可得到BF+BP=

2 3

3

DE；
（3）與（2）的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，則BF-BP=BC，所以BF-BP=

2 3

3

DE．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DB=DC，
∴△DCB為等邊三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=

3

2

BC；
故答案為DE=

3

2

BC．

（2）BF+BP=

2 3

3

DE．理由如下：
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中

DC=DB ∠CDP=∠BDF DP=DF

，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=

3

2

BC，
∴BC=

2 3

3

DE，
∴BF+BP=

2 3

3

DE；

（3）如圖，
與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC，
∴BF-BP=

2 3

3

DE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．