Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求證：無論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）

=4k2+4k+1﹣16k+8，

=4k2﹣12k+9

=（2k﹣3）2，

∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，

∴無論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根

（2）解：當(dāng)b=c時(shí)，△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，方程化為x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；

當(dāng)a=b=4或a=c=4時(shí)，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，解得k= ，方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，

所以△ABC的周長(zhǎng)=4+4+2=10

【解析】（1）先計(jì)算判別式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2 ， 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得△≥0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；（2）分類討論：當(dāng)b=c時(shí)，則△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，然后解方程得到b=c=2，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判斷這種情況不符號(hào)條件；當(dāng)a=b=4或a=c=4時(shí)，把x=4代入方程可解得k= ，則方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后計(jì)算△ABC的周長(zhǎng)．