已知:PA=
2
,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長.
分析:過A點作AE⊥PB于E,由∠APB=45°得△APE為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質有PE=AE=
2
2
PA=
2
2
×
2
=1,則BE=3,然后在Rt△AEB中,利用勾股定理可計算出AB=
10
;由于AD=AB,∠DAB=90°,則把△APD繞點A順時針旋轉90°得到△AFB,AD與AB重合,PA旋轉到AF的位置,根據(jù)旋轉的性質得到AP=AF,∠PAF=90°,PD=FB,則△APF為等腰直角三角形,得到∠APF=45°,PF=
2
AP=
2
×
2
=2,即有∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°,然后在Rt△FBP中,根據(jù)勾股定理可計算出FB的長,即可得到PD的長.
解答:解:過A點作AE⊥PB于E,如圖,
∵∠APB=45°,
∴△APE為等腰直角三角形,
∴PE=AE=
2
2
PA=
2
2
×
2
=1,
∵PB=4,
∴BE=PB-PE=4-1=3,
在Rt△AEB中,AB=
BE2+AE2
=
32+12
=
10

∵AD=AB,∠DAB=90°,
∴把△APD繞點A順時針旋轉90°得到△AFB,AD與AB重合,PA旋轉到AF的位置,如圖,
∴AP=AF,∠PAF=90°,PD=FB,
∴△APF為等腰直角三角形,
∴∠APF=45°,PF=
2
AP=
2
×
2
=2,
∴∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°,
在Rt△FBP中,PB=4,PF=2,
∴FB=
PB 2+PF2
=
42+22
=2
5
,
∴PD=2
5

所以AB和PD的長分別為
10
、2
5
點評:本題考查了旋轉的性質:旋轉前后兩圖形全等,即對應角線段,對應線段線段;對應點的連線段所夾的角等于旋轉角;對應點到旋轉中心的距離相等.也考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質以及勾股定理.
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