Question

已知：PA=

2

，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)．
（1）如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)∠APB的大小．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，過點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；
求PD的值有兩種解法，解法一：可將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD長(zhǎng)即為求P′B的長(zhǎng)，在Rt△AP′P中，可將PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根據(jù)勾股定理可將P′B的值求出；
解法二：過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的長(zhǎng)，進(jìn)而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；
（2）將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，故當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值，根據(jù)P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此時(shí)∠APB=180°-∠APP'=135°．

解答：解：（1）①如圖，作AE⊥PB于點(diǎn)E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=

2

，
∴AE=PE=

2

×

2

2

=1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=

AE2+BE2

=

10

．
②解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將
△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=

2

PA=2，
∴PD=P′B=

PP′2+PB2

=

22+42

=2

5

；
解法二：如圖，過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，與DA的
延長(zhǎng)線交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG=

AE

cos∠EAG

=

AE

cos∠ABE

=

10

3

，EG=

1

3

，PG=PE-EG=

2

3

．
在Rt△PFG中，
可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=

10

5

，F(xiàn)G=

10

15

．
在Rt△PDF中，可得，
PD=

PF2+(AD+AG+FG)2

=

( 10 5 )2+( 10 + 10 15 + 10 3 )2

=2

5

．

（2）如圖所示，

將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°
得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=

2

PA=2，PB=4，
且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，
∴當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值（如圖）
此時(shí)P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6．
此時(shí)∠APB=180°-∠APP'=135度．

點(diǎn)評(píng)：考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)，進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力，在解題過程中要求學(xué)生充分發(fā)揮想象空間，確定P′B取得最大值時(shí)點(diǎn)P′的位置．