Question

如圖1，已知線段AB=8，點(diǎn)C是AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不包括A、B），在AB同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ACD和BCE，連DE，點(diǎn)P、F分別是DE和BE的中點(diǎn)，連接AF，分別交DC、CE于G、H．
（1）寫出圖中所有的相似三角形（除等邊三角形ACD和BCE外）；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在AB中點(diǎn)時(shí)，如圖2，求CP的長及AG：GH：HF；
（3）點(diǎn)M、N是線段AB上兩點(diǎn)，且AM=BN=2，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M向點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，由AA可得圖中所有的相似三角形；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，可得△CDE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求CP的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG：GH：HF的值；
（3）用坐標(biāo)點(diǎn)位置求P的路徑，先得到P，P′點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．

解答：解：（1）△ADG∽△HCG∽△HEF（三對），△ACG∽△ABF，

（2）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，點(diǎn)C在AB中點(diǎn)
∴∠DCA=∠EDB=60°，CD=AC=BC=CE，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
又∵P為DE的中點(diǎn)，
∴CP=

3

2

DE=2

3

，
∵CD∥BE，
∴AG：GF=AC：BC=1，CG：BF=

1

2

，
∴AG=GF，CG=

1

2

BF=1，
又∵△HCG∽△HEF，
∴GH：HF=CG：EF=

1

2

，
∴AG：GH：HF=3：1：2，

（3）點(diǎn)A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸，垂直為AB的線為y軸．
C點(diǎn)在M點(diǎn)時(shí)，D的坐標(biāo)為（1，

3

），E的坐標(biāo)為（5，3

3

），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2

3

）
C點(diǎn)在N點(diǎn)時(shí)，D'的坐標(biāo)為（3，3

3

），E'的坐標(biāo)為（7，

3

），則P‘點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，2

3

）．
由P，P′點(diǎn)的坐標(biāo)可求出P的路徑為5-3=2．
故點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長為2．

點(diǎn)評：考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．