Question

如圖1，已知線段AB=8，點C是AB上的一動點（不包括A、B），在AB同側作兩個等邊三角形ACD和BCE，連DE，點P、F分別是DE和BE的中點，連接AF，分別交DC、CE于G、H．
（1）寫出圖中所有的相似三角形（除等邊三角形ACD和BCE外）；
（2）當點C在AB中點時，如圖2，求CP的長及AG：GH：HF；
（3）點M、N是線段AB上兩點，且AM=BN=2，當點C從點M向點N運動時，求點P所經過的路徑長．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質，由AA可得圖中所有的相似三角形；
（2）根據等邊三角形的性質和中點的定義，可得△CDE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可求CP的長，根據相似三角形的性質可得AG：GH：HF的值；
（3）用坐標點位置求P的路徑，先得到P，P′點的坐標，再根據兩點間的距離公式即可求解．

解答：解：（1）△ADG∽△HCG∽△HEF（三對），△ACG∽△ABF，

（2）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，點C在AB中點
∴∠DCA=∠EDB=60°，CD=AC=BC=CE，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
又∵P為DE的中點，
∴CP=

3

2

DE=2

3

，
∵CD∥BE，
∴AG：GF=AC：BC=1，CG：BF=

1

2

，
∴AG=GF，CG=

1

2

BF=1，
又∵△HCG∽△HEF，
∴GH：HF=CG：EF=

1

2

，
∴AG：GH：HF=3：1：2，

（3）點A點為原點，AB為x軸，垂直為AB的線為y軸．
C點在M點時，D的坐標為（1，

3

），E的坐標為（5，3

3

），則P點坐標為（3，2

3

）
C點在N點時，D'的坐標為（3，3

3

），E'的坐標為（7，

3

），則P‘點的坐標為（5，2

3

）．
由P，P′點的坐標可求出P的路徑為5-3=2．
故點P所經過的路徑長為2．

點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，兩點間的距離，綜合性較強，有一定的難度．