Question

（2011•梅州）如圖1，已知線段AB的長為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．
（1）當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時(shí)，AP=

a

；（直接寫結(jié)果）
（2）連接AD、BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC=α，那么α的大小是否會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)面變化？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時(shí)α的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

Answer 1

分析：（1）設(shè)AP的長是x，然后利用x表示出兩個(gè)三角形的面積的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得x的值；
（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（3）旋轉(zhuǎn)的過程中，（2）中得兩個(gè)三角形的全等關(guān)系不變，因而角度不會(huì)變化．

解答：解：（1）設(shè)AP的長是x，則BP=2a-x，
∴S_△APC+S_△PBD=

1

2

x•

3

2

x+

1

2

（2a-x）•

3

2

（2a-x）
=

3

2

x²-

3

ax+

3

a²，
當(dāng)x=-

b

2a

=-

- 3 a

2× 3 2

=a時(shí)△APC與△PBD的面積之和取最小值，
故答案為：a；

（2）α的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；

（3）此時(shí)α的大小不會(huì)發(fā)生改變，始終等于60°．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．