【題目】定義:

數(shù)學活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為智慧三角形.

理解:

如圖,已知上兩點,請在圓上找出滿足條件的點,使智慧三角形(畫出點的位置,保留作圖痕跡);

如圖,在正方形中,的中點,上一點,且,試判斷是否為智慧三角形,并說明理由;

運用:

如圖,在平面直角坐標系中,的半徑為,點是直線上的一點,若在上存在一點,使得智慧三角形,當其面積取得最小值時,直接寫出此時點的坐標.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)P的坐標(﹣,),(,).

【解析】試題分析:(1)連結(jié)AO并且延長交圓于C1,連結(jié)BO并且延長交圓于C2,即可求解;(2)設正方形的邊長為4a,表示出DF=CF以及EC、BE的長,然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形,由直角三角形的性質(zhì)可得AEF為智慧三角形;(3)根據(jù)智慧三角形的定義可得OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊,再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高,即點P的橫坐標,再根據(jù)勾股定理可求點P的縱坐標,從而求解.

試題解析:

(1)如圖1所示:

(2)AEF是否為“智慧三角形”,

理由如下:設正方形的邊長為4a,

E是DC的中點,

DE=CE=2a,

BC:FC=4:1,

FC=a,BF=4a﹣a=3a,

在RtADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,

在RtECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,

在RtABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,

AE2+EF2=AF2

∴△AEF是直角三角形,

斜邊AF上的中線等于AF的一半,

∴△AEF為“智慧三角形”;

(3)如圖3所示:

由“智慧三角形”的定義可得OPQ為直角三角形,

根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,

由垂線段最短可得斜邊最短為3,

由勾股定理可得PQ=

PM=1×2÷3=,

由勾股定理可求得OM=,

故點P的坐標(﹣,),().

練習冊系列答案
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a,b,c是直線,若abbc,則ac

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(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;

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