Question

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC又以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．

⑴ 當(dāng)△ABC的邊(BC邊除外)與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B移動(dòng)了多少距離？

⑵ 若在△ABC移動(dòng)的同時(shí)，⊙O也以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則△ABC從開始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？

⑶ 在⑵的條件下，是否存在某一時(shí)刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時(shí)兩個(gè)圖形移動(dòng)了多少時(shí)間？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

⑴假設(shè)第一次相切時(shí)，△ABC移至△A^’B^’C^’處，A^’C^’與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，

交B^’C^’于F．設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連OD，則OE⊥A^’C^’，OD⊥直線l．

由切線長(zhǎng)定理可知C^’E= C^’D，設(shè)C^’D=x，則C^’E= x，易知C^’F=x

∴x＋x=1   ∴x=－1  ∴CC^’=5－1－(－1)=5－

∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

∴點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的的距離為

⑵∵△ABC與⊙O從開始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切時(shí)，路程差為6，速度差為1

∴從開始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切的時(shí)間為6秒…

⑶∵△ABC與⊙O從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相切時(shí)，路程差為4，速度差為1

∴從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相切的時(shí)間為4秒， 此時(shí)△ABC移至△A^”B^”C^”處，

A^”B^”=1＋4×=3

連接B^”O并延長(zhǎng)交A^”C^”于點(diǎn)P，易證B^”P⊥A^”C^”，且OP=＜1

∴此時(shí)⊙O與A^”C^”相交

∴不存在．