Question

等邊△ABC邊長(zhǎng)為5，D是邊BC上一點(diǎn)，且BD=2，M、N分別是AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持∠MDN=60°，設(shè)BM=x，CN=y，
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出自變量x的取值范圍．
（2）連接MN，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MDN是等邊三角形；
（3）連接MN，當(dāng)△MDN是直角三角形時(shí)，求此時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可證△BMD∽△CDN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定即可得到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置；
（3）分①當(dāng)∠DMN=90°時(shí)，∠MND=30°；②當(dāng)∠DNM=90°時(shí)，∠DMN=30°兩種情況討論即可得到當(dāng)△MDN是直角三角形時(shí)x的值．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，
∵∠BMD=180°-∠B-∠BDM，∠CDN=180°-∠MDN-∠BDM
∴∠BMD=∠CDN，
∴△BMD∽△CDN，
∴，
∵BD=2，
∴CD=5-2=3，
∴，
∴，
由題意知，x≤5，y≤5；當(dāng)y≤5時(shí)，
∴自變量x的取值范圍是：1.2≤x≤5；

（2）當(dāng)BM=3時(shí)，△MDN是等邊三角形，理由如下：
∵△BMD∽△CDN，
∴，
∵BM=CD=3，
∴MD=DN，
∵∠MDN=60°，
∴△MDN是等邊三角形；

（3）∵△BMD∽△CDN，
∴，
①當(dāng)∠DMN=90°時(shí)，∠MND=30°，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)∠DNM=90°時(shí)，∠DMN=30°，
∴DM=2DN
∴，
∴x=6，
由（1）知1.2≤x≤5知不合題意舍去．
綜合①②可知，當(dāng)△MDN是直角三角形時(shí)，x的值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，此題涉及到等邊三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)思想和分類(lèi)思想，有一定的綜合性，難度適中．