Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．

（1）如圖1，當(dāng)DE=DF時，圖1中是否存在于AB相等的線段？若存在，請找出并加以證明．若不存在說明理由．

（2）如圖2，當(dāng)DE=kDF（其中0<k<1）時，若∠A=90°，AF=m，求BD的長（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）存在，AB=BE，理由見解析；（2）BD=；

【解析】試題（1）存在，AB=BE，理由如下：

延長BA、EF交于點G，連接AE，由已知可得∠EDG＝∠AFG，又∠G＝∠G為公共角，從而可得△GAF∽△ＧＥＤ，所以，又∠G＝∠G，從而可得△GAE∽△ＧＦＤ，所以有∠ADF＝∠AEF，由∠ADF+∠DEC＝１８０°，∠DEC+∠BED＝１８０°，可得∠AEF＝∠DEB，從而得∠BEA=∠DEF，由于DE=DF，可得∠DEF=∠DFE，從而可得∠DAE=∠BEA，繼而得AB=EB；

（2）連接AE，由（1）知，∠AEF=∠DEB，∠AFE=∠BDE，從而可得△EDB∽△EFA，繼而可得，∠B=∠EAF，由∠BAC=90°，從而可得∴∠AEB=90°繼而可得∠DEF=90°，由DE=kDF，可得EF=DF，從而可得BD=．

試題解析：（1）存在，AB=BE，理由如下：

延長BA、EF交于點G，連接AE，∵∠BDE+∠EDG＝１８０°，∠AFE+∠AFG＝１８０°，∠AFE＝∠BDE，∴∠EDG＝∠AFG，又∵∠G＝∠G，∴△GAF∽△ＧＥＤ，∴，又∵∠G＝∠G，∴△GAE∽△ＧＦＤ，∴∠ADF＝∠AEF，∵∠ADF+∠DEC＝１８０°，∠DEC+∠BED＝１８０°，∴∠AEF＝∠DEB，∴∠BEA=∠DEF，∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠DAE=∠G+∠AEF，∠DFE=∠G+∠ADF，∴∠DAE=∠BEA，∴AB=EB；

（2）連接AE，由（1）知，∠AEF=∠DEB，∠AFE=∠BDE，∴△EDB∽△EFA，∴，∠B=∠EAF，∵∠BAE+∠EAF=∠BAC=90°，∴∠B+∠BAE=90°，∴∠AEB=90°，即∠BED+∠AED=90°，∴∠AED+∠AEF=90°，即∠DEF=90°，∴EF2=DF2-DE2，∵DE=kDF，∴EF=DF，∴，即，∴BD=