Question

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B（0，3），且∠OAB的余切值為．
（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C，BC與直線l相交于點(diǎn)E．點(diǎn)P在直線l上，如果點(diǎn)D是△PBC的重心，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將（1）所求得的拋物線沿y軸向上或向下平移后頂點(diǎn)為點(diǎn)P，寫(xiě)出平移后拋物線的表達(dá)式．點(diǎn)M在平移后的拋物線上，且△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由點(diǎn)B（0，3），可知 OB=3．
∵在Rt△OAB中，tan∠OAB==，
∴OA=1，
∴點(diǎn)A（-1，0）
∵由拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，代入得：
，
∴b=2，c=3，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）該拋物線的對(duì)稱軸是直線l為x=1，
∵由題意知：點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），且點(diǎn)E（1，3）為BC的中點(diǎn)，
∴DE=1，
∵點(diǎn)D是△PBC的重心，
∴PD=2DE=2，
即得：PE=3，
∵由點(diǎn)P在直線l上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，6）；

（3）∵P（1，6），D（1，4），
∴PD=2，可知將拋物線y=-x²+2x+3向上平移2個(gè)單位，
∴平移后的拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+5，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．
△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m-1|、1，
于是，由△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，
得|m-1|=2．
解得：m₁=-1，m₂=3．
∵點(diǎn)M在拋物線y=-x²+2x+5上，
∴n₁=2，n₂=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為M₁（-1，2）、M₂（3，2）．
分析：（1）求出OB，根據(jù)已知得出tan∠OAB==，求出OA，即可求出A的坐標(biāo)，代入拋物線即可求出拋物線的表達(dá)式，化成頂點(diǎn)式即可求出D的坐標(biāo)；
（2）求出C的坐標(biāo)，求出E的坐標(biāo)，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)P、D的坐標(biāo)得出拋物線向上平移兩個(gè)單位即可得出新拋物線，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．求出△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m-1|、1，根據(jù)面積得出|m-1|=2，求出m，代入拋物線求出n即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平移性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，主要培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．