Question

在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=120°，AB=4，BC=4，CD=8，求五邊形的周長和面積．

Answer 1

解：連接AC，延長AB和DC交于F，過B作BM⊥CF于M，
∵∠ABC=∠DCB=120°，
∴∠FCB=∠FBC=60°，
∴∠F=60°，
∴△CBF是等邊三角形，
∴CF=BC=BF=4，
∵BM⊥CF，
∴CM=FM=2，
由勾股定理得：BM=2，
∴∠E=360°-∠D-∠EAB-∠F=60°=∠F，
∵∠D=∠EAB，
∴四邊形EAFD是平行四邊形，
∴DF∥AE，DE=AF=4+4=8，AE=DF=8+4=12
∴五邊形的周長是：DE+DC+BC+AB+AE=8+12+4+4+8=36，
∵∠ABC=120°，BC=AB=4，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∴∠ACF=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC=4，
∴五邊形的面積是S_{平行四邊形DEAF}-S_△CBF=AE×AC-×CF×BM=12×4-×4×2=44．
答：五邊形的周長是36，面積是44．
分析：連接AC，延長AB和DC交于F，過B作BM⊥CF于M，根據(jù)等邊三角形的判定證出等邊△CFB，求出BM，證直角三角形ACF，求出AC，證四邊形DEAF是平行四邊形，求出五邊形的周長，根據(jù)平行四邊形的面積和三角形的面積求出即可．
點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，正確作輔助線構造平行四邊形和等邊三角形是解此題的關鍵，題型較好，難度適當，綜合性比較強．