Question

【題目】如圖，直線l經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=30°，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點(diǎn)Q．是否存在點(diǎn)P，使得QP=QO；若存在，求出相應(yīng)的∠OCP的大��；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】40°、20°、100°．

【解析】

點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而點(diǎn)P與線段AO有三種位置關(guān)系，在線段AO上，點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上．分這三種情況進(jìn)行討論即可．

①根據(jù)題意，畫出圖(1)，

在△QOC中，OC=OQ，

∴∠OQC=∠OCP，

在△OPQ中，QP=QO，

∴∠QOP=∠QPO，

又∵∠AOC=30°，

∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，

在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，

即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，

整理得，3∠OCP=120°，

∴∠OCP=40°．

②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上（如圖2）

∵OC=OQ，

∴∠OQP=（180°﹣∠QOC）×①，

∵OQ=PQ，

∴∠OPQ=（180°﹣∠OQP）×②，

在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，

把①②代入③得∠QOC=20°，則∠OQP=80°

∴∠OCP=100°；

③當(dāng)P在線段OA的反向延長(zhǎng)線上（如圖3），

∵OC=OQ，

∴∠OCP=∠OQC=（180°﹣∠COQ）×①，

∵OQ=PQ，

∴∠P=（180°﹣∠OQP）×②，

∵∠AOC=30°，

∴∠COQ+∠POQ=150°③，

∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，

①②③④聯(lián)立得

∠P=10°，

∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．

故答案為：40°、20°、100°．