Question

如圖①②，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的等邊△CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)將△CDE繞邊AB的中點G(G點也是DE的中點)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C1DE的位置．

(1)求C1點的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過三點O、A、C1的拋物線的解析式；

(3)如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，求切線BF

的解析式；

(4)拋物線上是否存在一點M，使得．若存在，請求出點M的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）C1(3，)

（2）a＝，b＝－

（3）y＝x＋

（4）M1(4，)，M2(－2，)，理由略

解析:(1)C1(3，)

  (2)∵拋物線過原點O(0，0)，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx

把A(2，0)，C`(3，)帶入，得 

解得a＝，b＝－

∴拋物線解析式為y＝x2－x

(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°

又AB＝2    ∴AF＝4    ∴OF＝2       ∴F(－2，0)

    設(shè)直線BF的解析式為y＝kx＋b

把B(1，)，F(xiàn)(－2，0)帶入，得    解得k＝，b＝

∴直線BF的解析式為y＝x＋

   (4)①當(dāng)M在x軸上方時，存在M(x，x2－x)

S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3

得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2

當(dāng)x1＝4時，y＝×42－×4＝；

當(dāng)x1＝－2時，y＝×(－2)2－×(－2)＝

∴M1(4，)，M2(－2，)

②當(dāng)M在x軸下方時，不存在，設(shè)點M(x，x2－x)

  S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3

得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0 無解

綜上所述，存在點的坐標(biāo)為M1(4，)，M2(－2，)