Question

已知拋物線y=（1-a）x²+8x+b的圖象的一部分如圖所示，拋物的頂點(diǎn)在第一象限，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，-7）和點(diǎn)B．
（1）求a的取值范圍；
（2）若OA=2OB，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)過點(diǎn)A，所以可以確定b的值，又因?yàn)閽佄锞€為y=（1-a）x²+8x-7又拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，開口向下，所以拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以可以確定1-a＜0，△＞0，解不等式組即可求得a的取值范圍；
（2）因?yàn)镺A=2OB，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可求得a，b的值，即可求得二次函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）由圖可知，b=-7．（1分）
故拋物線為y=（1-a）x²+8x-7．
又因拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，開口向下，
所以拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
∴

1-a＜0 82-4(1-a)(-7)＞0

，
解之，得1＜a＜

23

7

．（3分）
即a的取值范圍是1＜a＜

23

7

．（6分）

（2）設(shè)B（x₁，0），
由OA=20B，
得7=2x₁，即x₁=

7

2

．（7分）
由于x₁=

7

2

，方程（1-a）x²+8x-7=0的一個(gè)根，
∴（1-a）（

7

2

）²+8×

7

2

-7=0
∴a=

19

7

．（9分）
故所求所拋物線解析式為y=-

12

7

x²+8x-7．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，開口方向，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等；
解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．