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【題目】如圖,在正方形ABCD中,BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點E、F,連結BD、DP,BD與CF相交于點H,給出下列結論:①△DFP~△BPH;②;③PD2=PHCD;④,其中正確的是______(寫出所有正確結論的序號).

【答案】①②③

【解析】

依據∠FDP=PBD,DFP=BPC=60°,即可得到△DFP∽△BPH;依據△DFP∽△BPH,可得,再根據BP=CP=CD,即可得到;判定△DPH∽△CPD,可得,即PD2=PHCP,再根據CP=CD,即可得出PD2=PHCD;根據三角形面積計算公式,結合圖形得到△BPD的面積=BCP的面積+CDP面積﹣△BCD的面積,即可得出

PC=CD,PCD=30°,

∴∠PDC=75°,

∴∠FDP=15°,

∵∠DBA=45°,

∴∠PBD=15°,

∴∠FDP=PBD,

∵∠DFP=BPC=60°,

∴△DFP∽△BPH,故①正確;

∵∠DCF=90°﹣60°=30°,

tanDCF=,

∵△DFP∽△BPH,

BP=CP=CD,

,故②正確;

PC=DC,DCP=30°,

∴∠CDP=75°,

又∵∠DHP=DCH+CDH=75°,

∴∠DHP=CDP,而∠DPH=CPD,

∴△DPH∽△CPD,

,即PD2=PHCP,

又∵CP=CD,

PD2=PHCD,故③正確;

如圖,過PPMCD,PNBC,

設正方形ABCD的邊長是4,BPC為正三角形,則正方形ABCD的面積為16,

∴∠PBC=PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

∴∠PCD=30°

PN=PBsin60°=4×=2,PM=PCsin30°=2,

SBPD=S四邊形PBCD﹣SBCD=SPBC+SPDC﹣SBCD

=×4×2+×2×4﹣×4×4

=4+4﹣8

=4﹣4,

,故④錯,

故答案為:①②③

練習冊系列答案
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Ⅱ)若∠D=30°,BAO=15°,作CEAB于點E,求:

BE的長;

②四邊形ABCD的面積.

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1)求拋物線的表達式;

2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標;如果不存在,請說明理由;

3)點E時線段BC上的一個動點,過點Ex軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

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(2)求證:直線CF為⊙O的切線;

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(2)AB=CB,求證:BG=AE.

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