Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結論：①△DFP～△BPH；②；③PD2=PHCD；④，其中正確的是______（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

依據∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，即可得到△DFP∽△BPH；依據△DFP∽△BPH，可得，再根據BP=CP=CD，即可得到；判定△DPH∽△CPD，可得，即PD2=PHCP，再根據CP=CD，即可得出PD2=PHCD；根據三角形面積計算公式，結合圖形得到△BPD的面積=△BCP的面積+△CDP面積﹣△BCD的面積，即可得出．

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，故①正確；

∵∠DCF=90°﹣60°=30°，

∴tan∠DCF=，

∵△DFP∽△BPH，

∴，

∵BP=CP=CD，

∴，故②正確；

∵PC=DC，∠DCP=30°，

∴∠CDP=75°，

又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，

∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，

∴△DPH∽△CPD，

∴，即PD2=PHCP，

又∵CP=CD，

∴PD2=PHCD，故③正確；

如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，

設正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，則正方形ABCD的面積為16，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°

∴PN=PBsin60°=4×=2，PM=PCsin30°=2，

∵S△BPD=S四邊形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD

=×4×2+×2×4﹣×4×4

=4+4﹣8

=4﹣4，

∴，故④錯，

故答案為：①②③．