Question

【題目】已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為厘米，對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F，點(diǎn)E從點(diǎn)A、點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H；過(guò)F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設(shè)HE，EF，F(xiàn)G，GH圍成的圖形面積為，AE，EB，BA圍成的圖形面積為（這里規(guī)定：線段的面積為）．E到達(dá)C,F到達(dá)A停止．若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖①，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明；

（2）當(dāng)0<x<8時(shí)，求x為何值時(shí)，；

（3）若是的和，試用x的代數(shù)式表示y．（圖②為備用圖）

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是矩形，證明見(jiàn)解析；（2）6；（3）

【解析】(1)、首先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同得出AE=CF，再由正方形的性質(zhì)及已知EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC得出△CGF與△AHE都是等腰直角三角形，然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；(2)、首先由勾股定理求出正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為16．再連接BD交AC于O，則BO=8．然后用含x的代數(shù)式分別表示S1，S2，當(dāng)S1=S2時(shí)得出關(guān)于x的方程，解方程即可；(3)、因?yàn)楫?dāng)x=8時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)S1=0，y=S2．故應(yīng)分0≤x＜8與8≤x≤16兩種情況討論．

(1)、四邊形EFGH是矩形，

證明：∵E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∴AE=CF，∵⊥，⊥，∴EH//FG ，

∵ABCD為正方形，∴AD=DC，∠D=900，∴∠GCF=∠HAE=450，

又⊥，⊥，∴∠CGF=∠AHE=450，∴∠GCF=∠CGF，∠HAE=∠AHE

∴AE=EH，CF=FG，∴EH=FG ，∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∵⊥，∴四邊形EFGH是矩形．

(2)、正方形邊長(zhǎng)為，．

，過(guò)作于，則．，

，，．

當(dāng)時(shí)，．解得（舍去），． 當(dāng)時(shí)，．

(3)、①當(dāng)時(shí)，．

②當(dāng)時(shí)，，，．

． ．