Question

已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF．
求證：（1）△ADF≌△CBE；
（2）連接DE、BF，試判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對邊平行且相等得到AD與BC平行且相等，由AD與BC平行得到內(nèi)錯角∠DAF與∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根據(jù)“SAS”得到△ADF與△CBE全等；
（2）由（1）證出的全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF與EB相等且∠DFA與∠BEC相等，由內(nèi)錯角相等兩直線平行得到DF與BE平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得到四邊形DEBF的形狀．
解答：證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC（1分）
∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）
∴△ADF≌△CBE（4分）

（2）四邊形DEBF是平行四邊形（5分）
∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，
∴DF∥BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形（6分）
點(diǎn)評：本題綜合考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，以及平行四邊形的判斷與性質(zhì)．其中第2問是一道先試驗(yàn)猜想，再探索證明的新型題，其目的是考查學(xué)生提出問題，解決問題的能力，這類幾何試題將成為今后中考的熱點(diǎn)試題．