Question

如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合.在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中.

    ⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y =3時相應(yīng)x的值；

⑵記△DGP的面積為，△CDG的面積為，試說明是常數(shù)；

⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

Answer 1

解：⑴∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，則.

∴.

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x.

∴，即. ∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.

當(dāng)y =3時，，解得:x=2.5.

⑵∵，.

∴ 即為常數(shù).

⑶延長PD交AC于點Q.

∵正方形ABCD中，AC為對角線，∴∠CAD=45°.

∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°.

∴∠GDP=∠ADQ=45°. ∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP.

∴，化簡得：，解得：.

∵，∴.

在Rt△DGP中，.