Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點C是AB延長線上一點，CD是⊙O的切線，點D是切點，過點B作⊙O的切線，交CD于點E．若CD=4，則點E到⊙O的切線長ED等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   2.5

Answer 1

A
分析：連接OD，由CD為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD與DC垂直，即∠ODC=90°，同理EB也是⊙O的切線，得到∠EBC=90°，∠C是公共角，所以根據(jù)兩對角相等的兩三角形相似得到△CBE與△CDO相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到EB的關(guān)系式，然后在直角三角形ODC中，由OD和CD的長，利用勾股定理求出OC的長，由CB=OC-OB求出CB的長，把OD，CD及CB的長代入關(guān)系式中即可求出EB的長，又ED和EB都為⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得到ED=EB，進(jìn)而得到ED的長．
解答：解：連接OD，
由CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，即∠ODC=90°，
又BE也是⊙O的切線，得到EB⊥BA，即∠EBC=90°，
∴∠ODC=∠EBC=90°，又∠C=∠C，
∴△CBE∽△CDO，
∴=，
在直角三角形OCD中，CD=4，OD=AB=3，根據(jù)勾股定理得：CO=5，
∴CB=CO-OB=5-3=2，
又ED和EB都為⊙O的切線，
則ED=EB===．
故選A．
點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．