Question

如圖，直線y=-x-1與拋物線y=ax²+bx-4都經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、C（3，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點(diǎn)P在線段AC上，過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)E，求線段PE長度的最大值；
（3）當(dāng)線段PE的長度取得最大值時，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PCQ是以PC為直角邊的直角三角形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．
（2）首先要弄清的是PE的長，實(shí)際是直線AC與拋物線函數(shù)值的差，可設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AC和拋物線的解析式表示出P、E的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PE與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PE的最大值．
（3）此題要分作兩種情況考慮：
①Rt△PCQ以P為直角頂點(diǎn)，根據(jù)直線AC的解析式，可求得直線PQ的解析式y(tǒng)=kx+b中k=1，已知了點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求得直線PQ的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)Rt△PCQ以C為直角頂點(diǎn)時，方法同上．
解答：解：（1）∵A（-1，0）、C（3，-4）在拋物線y=ax²+bx-4上，
∴，
∴a=1，b=-3，
∴y=x²-3x-4．

（2）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m-1），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-3m-4），
∴PE=（-m-1）-（m²-3m-4），
=-m²+2m+3，
=-（m-1）²+4，
∵PE＞0，
∴當(dāng)m=1時，線段PE最大且為4．

（3）假設(shè)存在符合條件的Q點(diǎn)；
當(dāng)線段PE最大時動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2），
①當(dāng)PQ⊥PC時，
∵直線PC的解析式為：y=-x-1
∴直線PQ的解析式可設(shè)為：y=x+b，
則有：-2=1+b，b=-3；
∴直線PQ的方程為y=x-3，
聯(lián)立
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2+，-1），（2-，--1）．
②當(dāng)CQ⊥PC時，同理可求得直線CQ的解析式為y=x-7；
聯(lián)立拋物線的解析式得：，
解得，（舍去），
∴Q（1，-6）；
綜上所述，符合條件的Q點(diǎn)共有3個，坐標(biāo)為：Q₁（2+，-1），Q₂（2-，--1），Q₃（1，-6）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識；需要注意的是（3）題中，點(diǎn)P、C都有可能是直角頂點(diǎn)，要分類討論，以免漏解．